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本章整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习随机变量离散型随机变量两点分布二项分布条件概率事件独立性超几何分布分布列均值方差正态分布正态分布密度曲线3𝜎原则ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题一几个典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况,是进一步研究随机变量的数字特征的基础,对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度,求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤:(1)确定离散型随机变量所有的可能取值,以及取这些值时的意义;(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律;(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四应用1袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽3次,每次取1球.求:(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.提示:(1)为二项分布;(2)为超几何分布.解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均为15,3次取球可以看成3次独立重复试验,则X~B3,15.所以P(X=0)=C30150×453=64125;P(X=1)=C31151×452=48125;P(X=2)=C32152×451=12125;P(X=3)=C33153×450=1125.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四因此,X的分布列为X0123P6412548125121251125(2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:P(Y=0)=C20C83C103=715;P(Y=1)=C21C82C103=715;P(Y=2)=C22C81C103=115.因此,Y的分布列为Y012P715715115ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四应用2某人参加射击,击中目标的概率为13.(1)设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求η的分布列;(2)若他只有6颗子弹,只要击中目标,则不再射击,否则子弹打完,求他射击次数ξ的分布列.提示:(1)中η的取值是全体正整数;(2)中ξ的取值是1,2,3,4,5,6.解:(1)设η=k表示他前(k-1)次未击中目标,而在第k次射击时击中目标,则η的取值为全体正整数1,2,3,…,所以P(η=k)=23𝑘-113(k=1,2,3,…),故η的分布列为:η123…k…P1323·13232·13…23k-1·13…ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四(2)设ξ=k表示他前k-1次未击中目标,而在第k次射击时击中目标,k=1,2,3,4,5.则P(ξ=k)=23𝑘-113(k=1,2,3,4,5),而ξ=6表示前5次未击中,所以P(ξ=6)=235;故ξ的分布列为:ξ123456P13294278811624332243ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题二事件的相互独立与二项分布的应用独立事件与二项分布是高考的一个重点,独立事件是相互之间无影响的事件,P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B独立的充要条件.二项分布实质是独立事件的一类具体情况.一定记好n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四应用某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望;(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.提示:本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果,明确ξ的取值后,利用相互独立事件的概率公式计算即可.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四解:(1)如果三个题目均答错,得0+0+(-10)=-10(分).如果三个题目均答对,得10+10+20=40(分).如果三个题目一对两错,包括两种情况:①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0(分);②前两个错,第三个对,得0+0+20=20(分).如果三个题目两对一错,也包括两种情形;①前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10(分);②第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30(分).故ξ的可能取值为-10,0,10,20,30,40.P(ξ=-10)=0.2×0.2×0.4=0.016;P(ξ=0)=C21×0.2×0.8×0.4=0.128;P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0.256;P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;P(ξ=30)=C21×0.8×0.2×0.6=0.192;P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四所以,ξ的分布列为ξ-10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384ξ的期望为E(ξ)=-10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)=1-P(ξ0)=1-0.016=0.984.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题三离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值是离散型随机变量的重要的数字特征,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此不仅要掌握其计算公式,还要掌握其计算方法.1.利用定义求均值根据定义求离散型随机变量的均值首先要求分布列,然后利用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四应用1某套数学试卷中共有8道选择题,每道选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求:(1)该考生得分为40分的概率;(2)该考生所得分数ξ的分布列及数学期望E(ξ).提示:分析出得分的取值情况,写出分布列,求出E(ξ).解:(1)要得40分,8道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为12,有一道题答对的概率为13,还有一道题答对的概率为14,所以得40分的概率为12×12×13×14=148.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四(2)依题意,该考生得分ξ的取值是20,25,30,35,40,得分为20表示只做对了四道题,其余各题都做错,故所求概率为P(ξ=20)=12×12×23×34=18;同样可求得得分为25分的概率为P(ξ=25)=C21×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748;得分为30分的概率为P(ξ=30)=12×12×23×34+12×12×13×34×2+12×12×23×14×2+12×12×13×14=1748;得分为35分的概率为P(ξ=35)=1-148−1748−1748−18=748;得分为40分的概率为P(ξ=40)=148.于是ξ的分布列为ξ2025303540P64817481748748148故E(ξ)=20×648+25×1748+30×1748+35×748+40×148=33512.则该考生所得分数的数学期望为33512.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四2.利用分布模型的均值公式求均值(1)若X服从两点分布X10Ppq,则E(X)=p.(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四应用2某通信公司共有客户3000人,若通信公司准备了100份礼物,邀请客户在指定时间来领取,假设任意客户去领奖的概率为4%,问:通信公司能否向每一位客户都发出邀请?若能使每一位领取人都得到礼品,通信公司至少应准备多少份礼品?提示:来多少人是一个随机变量,而显然是服从二项分布的,用均值来反映平均来领奖的人数,即能说明问题.解:设来领奖的人数X=k(k=0,1,2,…,3000),所以P(X=k)=C3000𝑘(0.04)k(1-0.04)3000-k,可见X~B(3000,0.04),所以E(X)=3000×0.04=120.所以通信公司不能向每一位客户都发出邀请,若能使每一位领取人都得到礼品,通信公司至少应准备120份礼品.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四3.利用性质求均值应用3已知随机变量ξ的分布列如下表,且η=-2ξ+3,则E(η)=.ξ-101P141214提示:先求E(ξ),再利用E(η)=-2E(ξ)+3求E(η).解析:E(ξ)=-1×14+0×12+1×14=0,所以E(η)=-2E(ξ)+3=3.答案:3ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题四综合应用离散型随机变量的分布列、均值,独立事件概率等概念是这一章的重点内容,这一部分知识属于应用数学范畴,属概率知识,在经济以及其他具体社会领域应用广泛,体现了“数学来源于社会,又服务于社会”的原则.应用最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财,提出了三种方案.第一种方案:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能),且获利的概率为12.第二种方案:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万块钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,15,15.第三种方案:李师傅妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万块钱全部存入银行一年,现在存款年利率为4%.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITA