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2.3.2离散型随机变量的方差学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破随堂练习巩固1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求方差和标准差.2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利用公式求它们的方差.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习1.离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)=∑𝑖=1𝑛(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称其算术平方根𝐷(𝑋)为随机变量X的标准差.(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)D(aX+b)=a2D(X).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体和全局上描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度,这就需要求出方差.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1-1】已知ξ的分布列为ξ-101P0.50.30.2则D(ξ)等于()A.0.7B.0.61C.-0.3D.0解析:E(ξ)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,则D(ξ)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.245+0.027+0.338=0.61.答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1-2】若随机变量X的方差D(ξ)=1,则D(2ξ+1)的值为()A.2B.3C.4D.5解析:D(2ξ+1)=4D(ξ)=4.答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习2.两点分布、二项分布的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).【做一做2】已知随机变量X~B(3,p),D(X)=23,则p=.解析:由已知得,3p(1-p)=23,解得p=13或p=23.答案:13或23学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固求离散型随机变量的方差的步骤是什么剖析:求离散型随机变量的方差常分为以下三步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③求出随机变量的方差.【示例】编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学生的个数是X,求D(X).解:①先求X的分布列.X所有可能的取值为0,1,2,3.X=0表示三位学生全坐错了,情况有2种,所以P(X=0)=23!=13;X=1表示只有一位同学坐对了,情况有3种,所以P(X=1)=33!=12;X=2表示有两位学生坐对,一位学生坐错,这种情况不存在,所以P(X=2)=0;学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固X=3表示三位学生全坐对了,情况有1种,所以P(X=3)=13!=16.所以X的分布列如下:X0123P1312016②求随机变量X的均值.E(X)=0×13+1×12+2×0+3×16=12+12=1,③求随机变量的方差.D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(2-1)2×0+(3-1)2×16=1.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型一求离散型随机变量的方差【例1】袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.分析:(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)运用E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ)求a,b.解:(1)ξ的分布列为:ξ01234P1212011032015SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四则E(ξ)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,得a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以,当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.所以𝑎=2,𝑏=-2或𝑎=-2,𝑏=4即为所求.求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能正确求出每一个结果出现的概率.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型二方差的实际应用【例2】有A,B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:A种:XA110120125130135P0.1a2a0.10.2B种:XB100115125130145P0.10.20.40.1b其中XA,XB分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A,B两种钢筋哪一种质量好.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得a=0.2,b=0.2.故XA,XB的分布列分别为:XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2先比较它们的均值:EXA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,EXB=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,所以,它们的均值相同,再比较它们的方差:DXA=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四DXB=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.因为DXADXB,所以A种钢筋质量较好.在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型三离散型随机变量方差的综合应用【例3】A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四分析:本题已知随机变量X1,X2的分布列,从而可以求出Y1,Y2的分布列,再利用求方差的公式和性质解决即可.解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(2)f(x)=D𝑥100𝑌1+D100-𝑥100𝑌2=𝑥1002D(Y1)+100-𝑥1002D(Y2)=41002[x2+3(100-x)2]=41002(4x2-600x+3×1002).当x=6002×4=75时,f(x)=3为最小值.解均值与方差的综合问题时需要注意:(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算;(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分布可直接利用对应公式求解.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型四易错易混题型【例4】已知随机变量X的分布列为X01234P0.20.2a0.20.1求E(X),D(X),D(-2X-3).错解:E(X)=0×0.2+1×0.2+2×a+3×0.2+4×0.1=1.2+2a,D(X)=[0-(1.2+2a)]2×0.2+[1-(1.2+2a)]2×0.2+[2-(1.2+2a)]2×a+[3-(1.2+2a)]2×0.2+[4-(1.2+2a)]2×0.1=(1.2+2a)2×0.2+(0.2+2a)2×0.2+(0.8-2a)2×a+(1.8-2a)2×0.2+(2.8-2a)2×0.1,D(-2X-3)=-2D(X).错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3.∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56.D(-2X-3)=4D(X)=6.24.在求均值、方差时,要注意对随机变量分布列的性质及均值、方差的性质的应用.随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123451已知ξ的分布列为:ξ-101P121316若η=2ξ+2,则D(η)的值为()A.-13B.59C.109D.209解析:E(ξ)=-1×12+0×13+1×16=-13,D(ξ)=-1+13