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2.4正态分布学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破随堂练习巩固1.了解正态分布的意义.2.借助正态曲线理解正态分布的性质.3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习1.正态曲线(1)若φμ,σ(x)=12πσe-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)随机变量落在区间(a,b]的概率为P(aX≤b)≈𝑏𝑎φμ,σ(x)dx.2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=𝑏𝑎φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布.(2)正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1】设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(𝑥-10)28,则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10解析:由18πe-(𝑥-10)28=12πσe-(𝑥-𝜇)22𝜎2,可知σ=2,μ=10.(μ为平均数,σ为标准差)答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习3.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习曲线特点概率体现曲线在x轴上方P(X)0曲线关于直线x=μ对称①P(Xμ)=P(Xμ)=12,②P(μ-εXμ)=P(μXμ+ε)(其中ε0)曲线在x=μ处达到峰值12πσ0φμ,σ(x)≤12πσ曲线与x轴围成的面积为1P(-∞x+∞)=1ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2】设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤C)=P(ξC),则C等于()A.0B.σC.-μD.μ解析:正态分布在x=μ对称的区间上概率相等,则C=μ.答案:DZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544;P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974.正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率剖析:首先找出随机变量X服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在关于X=μ对称的区间上取值的概率相等求得结果.学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固【示例】商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位:kg),任取一袋大米,则质量在10~10.2kg的概率是多少?分析:由X~N(10,0.12),确定μ,σ的值,再找出特殊区间上的概率,利用对称性求值.解:∵X~N(10,0.12),∴μ=10,σ=0.1.∴P(9.8X≤10.2)=P(10-2×0.1X≤10+2×0.1)=0.9544.又∵正态曲线关于直线x=μ=10对称,∴P(10X≤10.2)=12P(9.8X≤10.2)=0.4772.∴质量在10~10.2kg的概率为0.4772.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型一正态曲线的应用【例1】如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.分析:该曲线的对称轴和最高点从图中容易看出,从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及正态曲线的函数解析式.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四解:由图象可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为12π,所以μ=20,12π·σ=12π,解得σ=2.于是正态分布密度曲线的函数解析式为φμ,σ(x)=12πe-(𝑥-20)24,x∈(-∞,+∞).总体随机变量的均值是μ=20,方差是σ2=(2)2=2.(1)要特别注意方差是标准差的平方.(2)用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定参数μ与σ的值.(3)当x=μ时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即f(μ)=12πσ,注意该式在解题中的运用.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型二正态分布下的概率计算【例2】设ξ~N(1,4),试求:(1)P(-1ξ≤3);(2)P(3ξ≤5);(3)P(ξ≥5).分析:首先确定μ,σ,然后根据正态曲线的对称性和P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544进行求解.解:∵ξ~N(1,4),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1ξ≤3)=P(1-2ξ≤1+2)=P(μ-σξ≤μ+σ)=0.6826.(2)∵P(3ξ≤5)=P(-3ξ≤-1),∴P(3ξ≤5)=12[P(-3ξ≤5)-P(-1ξ≤3)]=12[P(1-4ξ≤1+4)-P(1-2ξ≤1+2)]SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四=12[P(μ-2σx≤μ+2σ)-P(μ-σx≤μ+σ)]=12(0.9544-0.6826)=0.1359.(3)∵P(ξ≥5)=P(ξ≤-3),∴P(ξ≥5)=12[1-P(-3ξ≤5)]=12[1-P(1-4ξ≤1+4)]=12[1-P(μ-2σx≤μ+2σ)]=12(1-0.9544)=0.0228.求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型三正态分布的应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外径X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?分析:欲判定这批零件是否合格,关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在(μ-3σ,μ+3σ)内,还是在(μ-3σ,μ+3σ)之外.解:由于圆柱形零件的外径X~N(4,0.25),由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026,而5.7∉(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,故认为该厂生产的这批产品是不合格的.在试验应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则,如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,就说明出现了意外情况.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型四易错易混题型【例4】把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是()A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2错解:D错因分析:把正态密度函数中μ,σ的意义混淆了.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四正解:正态密度函数为f(x)=12πσe-(𝑥-𝜇)22𝜎2,正态曲线的对称轴x=μ,曲线最高点的纵坐标为f(μ)=12πσ.所以曲线C1向右平移2个单位长度后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f(μ)没变,从而σ没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即μ变了,因为曲线向右平移2个单位长度,所以期望值μ增大了2个单位长度.答案:C正态曲线的左右平移只改变其均值的大小,不改变方差的大小也就是平移变换不改变随机变量的方差,只有沿y轴方向的伸缩变换才改变其方差.随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123451设随机变量X~N(1,22),则D12X等于()A.4B.2C.12D.1解析:∵X~N(1,22),∴D(X)=4.∴D12X=14D(X)=1.答案:D随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123452设两个正态分布N(μ1,𝜎12)(σ10)和N(μ2,𝜎22)(σ20)的密度曲线如图所示,则有()A.μ1μ2,σ1σ2B.μ1μ2,σ1σ2C.μ1μ2,σ1σ2D.μ1μ2,σ1σ2解析:μ是均值,σ2是方差,μ是密度曲线的对称轴的位置,图象越“瘦高”,数据越集中,σ2越小.答案:A随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123453已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200,182),现从中任取一件,则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()A.0.9973B.0.6826C.0.8413D.0.8159解析:由题意知μ=200,σ=18,μ-σ=182,μ+σ=218,由P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826知,答案应选B.答案:B随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123454设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ1)=12,P(ξ2)=p,则P(0ξ1)=.解析:由题意P(ξ1)=12,∴μ=1.又P(0ξ1)=P(1ξ2)=P(ξ2)-P(ξ1)=1-p-12=12-p.答案:12-p随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123455一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布,其中μ=8,σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现现有的钢筋长度小于2m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢筋工停止生产,检修钢筋切割机?解:设检验出钢筋长为xm,则x2.由题