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-1-第二讲证明不等式的基本方法-2-一比较法首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解作差比较法和作商比较法.2.用比较法证明不等式.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.作差比较法(1)作差比较法的证明依据是:ab⇔a-b0;a=b⇔a-b=0;ab⇔a-b0.(2)基本步骤是:①作差;②变形;③定号;④下结论.思考1比较大小关系的一般方法是什么?提示:比较大小关系的一般方法是作差或作商比较法.可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测,再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小的问题,如数列问题中,两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同取值范围而发生变化,这就要注意对相关问题进行讨论,大小关系一定或不一定,应首先作出判断.2.作商比较法(1)作商比较法的证明依据是:𝑎𝑏1(b0)⇔ab;𝑎𝑏=1⇔a=b;𝑎𝑏1(b0)⇔ab.(2)基本步骤是:①作商;②变形;③比较商与1的大小;④下结论.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考2作商比较法中的符号问题如何解决?提示:在作商比较法中,𝑏𝑎1⇒ba是不正确的,这与a的符号有关,比如若a0,由𝑏𝑎1,可得ba,但若a0,由𝑏𝑎1,可得ba,所以在作商比较法中,要对分母的符号作出判断.对于此类问题,分为含参数变量的和大小固定的,因而可以通过特殊值的方法先进行一定的猜测,进而再给出推理或证明过程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一利用作差比较法证明不等式作差法比较大小时,对不等式两边求差后,要通过配方、因式分解、通分、分子或分母有理化等,对所得代数式进行变形,得到一个能够明显看出其符号的代数式,进而得出结论.【例1】设a+b0,n为偶数,求证𝑏𝑛-1𝑎𝑛+𝑎𝑛-1𝑏𝑛≥1𝑎+1𝑏.思路分析:注意不等式两端幂的结构,作差后,化为n个因式相乘,从而判断符号.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:𝑏𝑛-1𝑎𝑛+𝑎𝑛-1𝑏𝑛−1𝑎−1𝑏=(𝑎𝑛-𝑏𝑛)(𝑎𝑛-1-𝑏𝑛-1)(𝑎𝑏)𝑛.当a0,b0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n0,∴(𝑎𝑛-𝑏𝑛)(𝑎𝑛-1-𝑏𝑛-1)(𝑎𝑏)𝑛≥0,∴𝑏𝑛-1𝑎𝑛+𝑎𝑛-1𝑏𝑛≥1𝑎+1𝑏.当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,且a+b0,∴a|b|.又n为偶数,∴(an-bn)(an-1-bn-1)0.又(ab)n0,∴(𝑎𝑛-𝑏𝑛)(𝑎𝑛-1-𝑏𝑛-1)(𝑎𝑏)𝑛0.∴𝑏𝑛-1𝑎𝑛+𝑎𝑛-1𝑏𝑛1𝑎+1𝑏.综上所述,原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究二利用作商法比较大小作商法比较大小的前提是两个数a,b同号,对𝑎𝑏进行整理,直到能清晰地看出𝑎𝑏与1的大小关系为止,在运算过程中注意运用技巧.【例2】已知a0,b0,求证𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏.思路分析:因为a,b均为正数,所以不等式左边和右边都是正数,故可以用作商比较法进行比较.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:∵𝑎𝑏+𝑏𝑎𝑎+𝑏=𝑎𝑏𝑎+𝑏+𝑏𝑎𝑎+𝑏=𝑎𝑎𝑏+b+𝑏𝑎𝑏+a=𝑎𝑎𝑏+𝑎2+b𝑎𝑏+𝑏22𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2+(a+b)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏,又∵a2+b2≥2ab,∴𝑎2+𝑏2+(a+b)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏≥2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏=1,∴𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究三比较法在综合题目中的应用用作差或作商的方法来解决综合题目中的不等式问题,应先找到函数对应不等式的表达式,再结合题目进行作差或作商.【例3】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).(1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.思路分析:在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(1)证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5,①∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,②①②两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.又a1=5,故a2=11,从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),n∈N+.又∵a1=5,∴a1+1≠0,从而an+1+1an+1=2,即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)解:由(1)可知an=3×2n-1.∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.从而f'(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-n(n+1)2=3(n×2n+1-2n+1+2)-n(n+1)2=3(n-1)·2n+1-n(n+1)2+6.则2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)].(*)当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n;ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三当n=2时,(*)式=-120,∴2f'(1)23n2-13n;当n≥3时,n-10.令f(n)=2n-(2n+1),则f'(n)=2nln2-2,当n≥3时,f'(n)0,又f(3)0,∴当n≥3时,2n2n+1.∴(n-1)[2n-(2n+1)]0,即(*)式0,从而2f'(1)23n2-13n.点评此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中,大小问题可能会随“n”变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.若P=2,Q=6−2,R=7−3,则P,Q,R的大小关系是()A.PQRB.PRQC.QPRD.QRP解析:∵2+2=226,∴26−2,即PQ;又∵6+37+2,∴6−27−3,即QR.∴PQR.答案:A12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.已知a,b都是正数,P=a+b2,Q=a+b,则P,Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P≥QD.P≤Q解析:∵a,b都是正数,∴P0,Q0.∴P2-Q2=a+b22-(a+b)2=-(a-b)22≤0.∴P2-Q2≤0.∴P≤Q.答案:D12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.已知0x1,a=2x,b=1+x,c=11-x,则a,b,c中最大的是.解析:∵0x1,∴a0,b0,c0.又∵a2-b2=(2x)2-(1+x)2=-(1-x)20,∴a2-b20,∴ab.又∵c-b=11-x-(1+x)=x21-x0,∴cb,∴cba.答案:c12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.比较大小:lo𝑔1213lo𝑔1312.解析:𝑙𝑜𝑔1213𝑙𝑜𝑔1312=lo𝑔1213·lo𝑔1213=𝑙𝑜𝑔12132.∵lo𝑔1213lo𝑔1212=1,∴𝑙𝑜𝑔121321.∴lo𝑔1213lo𝑔1312.答案:12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.已知a,b∈R+,n∈N+,求证(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).证明:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).(1)若ab0,则bn-an0,a-b0,∴(a-b)(bn-an)0.(2)若ba0,则bn-an0,a-b0,∴(a-b)(bn-an)0.(3)若a=b0,(bn-an)(a-b)=0.由(1)(2)(3)知,对于a,b∈R+,n∈N+,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点