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-1-二综合法与分析法首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解综合法和分析法的概念.2.掌握综合法和分析法的证明过程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1用综合法证明不等式时“入手处”是什么?提示:用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式,函数的单调性及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论.综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些重要不等式.比如下面的几个不等式是经常使用的:①若a,b,c∈R+,则有21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22;②若a,b,c∈R,则有a2+b2+c2≥ab+bc+ca;③若a,b∈R+,则有(a+b)1a+1b≥4.选择使用哪个重要不等式作为证题的“原始出发点”或对已知条件进行转化是证题的关键,这就要求对要证明的结果要有充分的分析过程,可以联系平时积累下来的结论或知识作出判断,比如证明sinx+4𝑠𝑖𝑛x≥5,x∈0,𝜋2,并不是使用重要不等式a+1a≥2(a∈R+),而是利用了正弦sinx的有界性,以及形如y=x+ax的结构,联想函数y=x+4x的单调性,利用其单调性求证的.因此,使用综合法证题,必须积累一定的证题经验,还要记住一些数学式子的独特结构,以便在证明过程中能联想起一些证明的“蛛丝马迹”或“指路明灯”.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.分析法证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.思考2符号“⇒”“⇐”“⇔”如何使用?提示:“⇒”往往在综合法中使用,是由“已知”推出“结论”的意思;“⇐”是逆向过程,是分析法中使用的符号,但为了书写清晰,多用语言“要证…,只需证”来叙述.“⇔”是分析综合法的符号,即把要证的结论或结果采取等价变形的处理手段,变形出证明的依据或已知条件,这种证法简洁且易于掌握,但往往只适用于证明一些明确告诉了的不等式,因此我们可以借助符号“⇔”的意义来解题,即用分析法分析,用综合法写解答过程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一综合法证明不等式综合法证明不等式,揭示了条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知条件,这是证明的关键.【例1】已知a,b∈R+,且a+b=1,求证a+1a2+b+1b2≥252.思路分析:本题中条件a+b=1是解题的重点,可由重要不等式来变形出要证明的结论,另外a+b=1,也可以视为是“1”的代换问题.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证法一:左边=a+1a2+b+1b2=a2+b2+4+1a2+1b2=4+a2+b2+(a+b)2a2+(a+b)2b2=4+a2+b2+1+2ba+b2a2+a2b2+2ab+1=4+(a2+b2)+2+2ba+ab+b2a2+a2b2≥4+(a+b)22+2+2×2ba·ab+2·ba·ab=4+12+2+4+2=252,故原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证法二:∵a,b∈R+,且a+b=1,∴ab≤a+b22=14.∴a+1a2+b+1b2=4+(a2+b2)+1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+1-2×14+1-2×14142=252.∴a+1a2+b+1b2≥252.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评运用综合法证明不等式,常用到以下结论:(1)a∈R,则a2≥0;(2)a,b∈R+,则a+b≥2ab,当且仅当“a=b”时,等号成立;(3)a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当“a=b”时,等号成立;(4)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二分析法证明不等式分析法的格式是固定化的,但是每一步都是上一步的充分条件,即每一步数学式的变化都是在这个要求之下一步一步去寻找成立的条件或结论、定理.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】设ab0,求证a-b3a3−b3.证明:要证a-b3a3−b3,∵ab0,有a-b30,∴需证(a-b3)3(a3−b3)3,展开,得a-ba-3a2b3+3ab23-b,即证明3ab3(a3−b3)0,也就是证a3−b30,在题设条件下这一不等式显然成立,∴原不等式成立.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评当要证明的不等式比较复杂、两端差异难以消去或者已知条件信息少、已知与要证明的不等式之间的联系不明显,一般可以采用分析法.分析法是步步寻找不等式成立的充分条件,直到找到一个明显成立的不等式.分析法的思维是逆向思维,在证题时,应正确使用“要证”,“只需证”这样的关键词.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:不等式的性质应用错误【例3】已知a,b,c0,求证a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥abc.错解:因为a2b2+b2c2+c2a2≥3a2b2·b2c2·c2a23=3abcabc3,①又a+b+c≥3abc3,②故a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥3abcabc33abc3≥abc.③错因分析:我们知道不等式具有性质:若ab0,cd0,则acbd,但acbd却不一定成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:因为a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,以上三式相加,化简得:a2b2+b2c2+a2c2≥abc(a+b+c),两边同除以正数a+b+c得a2b2+b2c2+a2c2a+b+c≥abc.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.若ab0,则下列不等式中成立的是()A.1a1bB.a+1bb+1aC.b+1aa+1bD.bab+1a+1解析:∵ab0,∴1a1b,故选项A,B错误,而选项C正确.选项D中,取b=-1,则b+1a+1=0,而ba0,故选项D错误.答案:C1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.下面对命题“函数f(x)=x+1x是奇函数”的证明不是综合法的是()A.∀x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+1-x=-x+1x=-f(x),则f(x)是奇函数B.∀x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+1x+(-x)+-1x=0,∴f(x)=-f(-x),则f(x)是奇函数C.∀x∈R且x≠0,∵f(x)≠0,∴f(-x)f(x)=-x-1xx+1x=-1,∴f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数D.取x=-1,f(-1)=-1+1-1=-2,又f(1)=1+11=2.f(-1)=-f(1),则f(x)是奇函数解析:D项中,选取特殊值进行证明,不是综合法.答案:D1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.若x0,y0,且x+y=2,则x2+y2的最小值是.解析:由x2+y2≥2xy,得2(x2+y2)≥(x+y)2,即x2+y2≥(x+y)22.因为x+y=2,所以x2+y2≥2.当且仅当x=y=1时,x2+y2取得最小值2.答案:21234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.已知a,b,c都是正数,求证:2a+b2-ab≤3a+b+c3-abc3.分析:用分析法去找证题的突破口.要证原不等式,只需证-2ab≤c-3abc3,即只需证c+2ab≥3abc3,把2ab转化为ab+ab,问题就解决了.或由分析法的途径,也很容易用综合法的形式写出证明过程.证法一:要证2a+b2-ab≤3a+b+c3-abc3,只需证a+b-2ab≤a+b+c-3abc3,即-2ab≤c-3abc3.移项,得c+2ab≥3abc3.由a,b,c都为正数,得c+2ab=c+ab+ab≥3abc3.∴原不等式成立.1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1234证法二:∵a,b,c都是正数,∴c+ab+ab≥3cab·ab3=3abc3,即c+2ab≥3abc3.故-2ab≤c-3abc3.∴a+b-2ab≤a+b+c-3abc3.∴2a+b2-ab≤3a+b+c3-abc3.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点