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-1-三反证法与放缩法首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握反证法和放缩法的依据.2.会利用反证法和放缩法证明有关不等式.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1反证法中的数学语言有哪些?提示:反证法适宜证明“存在性问题”,“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或两个以上是有或存在不全不都是对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.放缩法证明不等式时,通常把不等式中某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.思考2放缩法的尺度把握问题有哪些?提示:(1)放缩法的理论依据主要有:不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;基本不等式与绝对值不等式的基本不等式;三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考查,常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一利用反证法证明不等式反证法是通过证明命题结论的否定不能成立,来肯定命题结论一定成立.其证明的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.若结论是“都是…”“都不是…”“至多…”“或…”“≠”等形式的不等式命题,往往用反证法解题比较简单.【例1】若a3+b3=2,求证a+b≤2.思路分析:a+b≤2的反面是a+b2,用反证法证.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证法一:假设a+b2,而a2-ab+b2=a-12b2+34b2≥0.但取等号的条件为a=b=0,显然不成立,∴a2-ab+b20,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,∴a2-ab+b21.∴1+aba2+b2≥2ab,从而ab1,∴a2+b21+ab2.∴(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.∴a+b2,这与假设矛盾,∴a+b≤2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证法二:假设a+b2,则a2-b,故2=a3+b3(2-b)3+b3,即28-12b+6b2,即(b-1)20,这与(b-1)2≥0矛盾,∴a+b≤2.证法三:假设a+b2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)6,∴ab(a+b)2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2).∴a2-ab+b2ab,即(a-b)20,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式:(1)与已知矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与显然成立的事实相矛盾.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究二利用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件,进行恰当地放缩,可采取舍掉其中一些项,或在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.【例2】求证:32−1n+11+122+…+1n22-1n(n∈N+,且n≥2).思路分析:欲证的式子中间是一个和的形式,但我们还不能利用求和公式来求,可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式,进而求和,最后证得该不等式成立.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:∵k(k+1)k2k(k-1),∴1k(k+1)1k21k(k-1),即1k−1k+11k21k-1−1k(k∈N+,且k≥2),分别令k=2,3,…,n,得12−131221-12,13−1413212−13,…,1n−1n+11n21n-1−1n,将它们相加,得12−13+13−14+…+1n−1n+1122+132+…+1n21-12+12−13+…+1n-1−1n,即12−1n+1122+132+…+1n21-1n,∴32−1n+11+122+132+…+1n22-1n(n∈N+,且n≥2).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评1.放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换,即欲证ab,可换成证ac且cb,欲证ab,可换成证ac且cb.2.放缩法原理简单,但技巧性较强且有时还会有“危险”,因为放大或缩小过头,就会得出错误的结论,而达不到预期的目的,因此,在使用放缩法时要注意放缩的“度”.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:放缩过大(小)而致错【例3】已知实数x,y,z不全为零.求证:x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x232(x+y+z).错解:2(x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2)x2+xy+xy+y2+y2+yz+yz+z2+z2+xz+xz+x2=xx+y+yx+y+yy+z+zy+z+zx+z+xx+z=(x+y)x+y+(y+z)y+z+(x+z)·x+z,无法证出结论.错因分析:出现放缩过大而达不到预想目的,造成这种现象的原因是对放缩法理解不透或没掌握好放缩技巧.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:x2+xy+y2=x+y22+34y2≥x+y22=x+y2≥x+y2.同理可得:y2+yz+z2≥y+z2,z2+zx+x2≥z+x2,由于x,y,z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式累加得:x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2x+y2+y+z2+z+x2=32(x+y+z).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的假设为()A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案:D12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.设|a|1,则P=|a+b|-|a-b|与2的大小关系是()A.P2B.P2C.P=2D.不确定解析:P=|a+b|-|a-b|≤|(a+b)-(b-a)|=2|a|2.答案:B12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.lg9lg11与1的大小关系是.解析:∵𝑙𝑔9𝑙𝑔11𝑙𝑔9+𝑙𝑔112=𝑙𝑔992𝑙𝑔1002=1,∴lg9lg111.答案:lg9lg11112345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.A=1+12+13+…+1n与n(n∈N+)的大小关系是.解析:A=11+12+13+…+1n≥1n+1n+…+1n共n项=nn=n.答案:A≥n12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数.∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,∴ac+bd≤1,这与ac+bd1矛盾,∴假设不成立,∴a,b,c,d中至少有一个是负数.12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点