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-1-单元整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习证明不等式的基本方法基本方法比较法作差比较法作商比较法综合法分析法特殊方法反证法放缩法ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五专题一比较法比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例1】设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.求证a2+b2+c2≥13.证明:∵a+b+c=1,3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1.∴a2+b2+c2≥13.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五【例2】若a=𝑙𝑛22,b=𝑙𝑛33,c=𝑙𝑛55,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac解析:∵ba=2𝑙𝑛33𝑙𝑛2=log891,且a0,b0,∴ba.又∵ac=5𝑙𝑛22𝑙𝑛5=log25321,且a0,c0,∴ac.∴cab.答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五专题二综合法综合法证明不等式的依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.综合法证明不等式的思维方面是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例3】已知a,b,c为△ABC的三条边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).提示:应用余弦定理解决.证明:设a,b两边的夹角为θ,则由余弦定理,得cosθ=a2+b2-c22ab.∵0θπ,∴cosθ1,∴a2+b2-c22ab1,即a2+b2-c22ab.同理可证:b2+c2-a22bc,c2+a2-b22ac,将上面三个同向不等式相加,即得a2+b2+c22(ab+bc+ca).专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五专题三分析法分析法证明不等式的依据:不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆求”(但绝不是逆推),即由待证的不等式出发,逐步逆求使其成立的充分条件(执果索因),最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法,一般说来,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五【例4】已知ab0,求证(a-b)28aa+b2−ab(a-b)28b.提示:本题要证明的不等式显得较为复杂,不易观察出怎样由ab0得到要证明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不等式,从中找到证明的线索.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五证明:要证原不等式成立,只需证(a-b)24aa+b-2ab(a-b)24b,即证a-b2a2(a−b)2a-b2b2.只需证a-b2aa−ba-b2b,即证a+b2a1a+b2b,即证ba1ab.只需证ba1ab.∵ab0,∴ba1ab成立.∴原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五专题四反证法运用反证法证明不等式,主要有以下两个步骤:①作出与所证不等式相反的假设;②从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题.涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题,也常用反证法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五【例5】已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2.两式相互矛盾.所以假设不成立,故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题四专题五专题五放缩法在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立,这种证明的方法称为放缩法.它是证明不等式的特殊方法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例6】已知a,b,c为三角形的三边,求证:a1+a,b1+b,c1+c也可以构成一个三角形.证明:设f(x)=x1+x,x∈(0,+∞),0x1x2,则f(x2)-f(x1)=x21+x2−x11+x1=x2-x1(1+x2)(1+x1)0,f(x2)f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.∵a,b,c为三角形三边,∴a+bc,∴c1+ca+b1+(a+b)=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b,即c1+ca1+a+b1+b,同理可证:a1+ab1+b+c1+c,b1+ba1+a+c1+c,∴以a1+a,b1+b,c1+c为边可构成一个三角形.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习