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-1-4.1.2圆的一般方程A组1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于()A.πB.2πC.2πD.4π解析:因为圆x2+y2-2x+6y+8=0化为标准方程得(x-1)2+(y+3)2=2,所以圆的半径是,则圆的周长等于2π.答案:C2.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为()A.B.2C.3D.0解析:圆的圆心坐标为(1,1),所以圆心到直线x-y-2=0的距离为.答案:A3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析:将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).∵直线3x+y+a=0过圆心,∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.答案:B4.圆C:x2+y2+2x-4y-4=0关于原点对称的圆的方程是()A.x2+y2+2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y-4=0C.x2+y2-2x-4y-4=0D.x2+y2+2x-4y+4=0解析:圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标为C(-1,2),半径为r=3,则圆心C关于原点的对称点为C'(1,-2),所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,即x2+y2-2x+4y-4=0.答案:B5.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有()A.D=0,F=0B.F0-2-C.D≠0,F≠0D.F0解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0得x2+Dx+F=0.由题意知,方程x2+Dx+F=0有两异号实根,即两根之积小于0,∴F0.答案:D6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是.解析:易知圆心C为(-1,0),而要求的直线与直线x+y=0垂直,设所求直线方程为y=x+b,将点C的坐标代入y=x+b,得b=1,故所求的直线方程为x-y+1=0.答案:x-y+1=07.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为.解析:设M(x,y),则P(x,2y).∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.答案:x2+4y2=48.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为.解析:将圆的方程配方得+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k20,∴rmax=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).答案:(0,-1)9.判断A(0,0),B(1,1),C(-2,2),D(2,0)四点是否共圆,并说明理由.解:设经过A,B,D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得于是经过A,B,D三点的圆的方程为x2+y2-2x=0.又∵(-2)2+(2)2-2×(-2)≠0,∴点C不在圆上.∴A,B,C,D四点不共圆.10.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0得y2+Ey+F=0,∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,-3-∴D+E=-2.①又∵A(4,2),B(-1,3)在圆上,∴16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0.③由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.B组1.方程|x|-1=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆解析:方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1,又|x|-1≥0,所以x≥1或x≤-1.若x≤-1,方程为(x+1)2+(y-1)2=1;若x≥1,方程为(x-1)2+(y-1)2=1.方程表示两个半圆.答案:D2.若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25解析:线段AB的中点为(2,0),因为△ABC为直角三角形,C为直角顶点,所以C到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0).答案:C3.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积最小值是()A.3-B.3+C.3-D.解析:直线AB的方程为x-y+2=0,圆心到直线AB的距离为d=,所以C到直线AB的最小距离为-1,S△ABC的最小值为×|AB|××2=3-.答案:A4.若圆x2+y2-4x+2y+m=0与y轴交于A,B两点,且∠ACB=90°(其中C为已知圆的圆心),则实数m的值为.解析:由已知,得圆半径r=.-4-令x=0,得y2+2y+m=0,∴y1+y2=-2,y1y2=m.∴|AB|2=|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=4-4m.∴2(5-m)=4-4m,解得m=-3.答案:-35.已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,则a的取值范围是.解析:将圆的方程变形为+(y+1)2=,则4-3a20,即-a,又点A在圆外,∴.化简,得a2+a+90,则a∈R.∴a∈.答案:6.已知线段AB的长为4,且端点A,B分别在x轴与y轴上,则线段AB的中点M的轨迹方程为.解析:设M点坐标为(x,y),A点坐标为(x0,0),B点坐标为(0,y0).∵点M是线段AB的中点,∴∴A(2x,0),B(0,2y).又∵|AB|=4,∴=4,即x2+y2=4.答案:x2+y2=47.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.解:设P(x,y),O为原点,连接OP,当x≠0时,OP⊥AP,即kOP·kAP=-1,∴=-1,即x2+y2-4x=0.①当x=0时,P点坐标(0,0)是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分).8.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),-5-∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).