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-1-4.1.2圆的一般方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解圆的一般方程及其特点.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.圆的一般方程当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心为-𝐷2,-𝐸2,半径为12𝐷2+𝐸2-4𝐹.名师点拨圆的一般方程的形式特点(1)x2,y2的系数相等且不为零(如果x2,y2的系数不是1的非零常数,只需在方程两边同时除以这个数,系数就可变为1);(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F0.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做1圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.答案:(3,0)做一做2若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.答案:4JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.轨迹方程点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一圆的一般方程的概念任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为𝑥+𝐷22+𝑦+𝐸22=𝐷2+𝐸2-4𝐹4,根据圆的标准方程来判断.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:解答本题可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=12𝐷2+𝐸2-4𝐹=5|m-2|.解法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=5|m-2|.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练1如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是.解析:由题意可知(-2)2+12-4k0,即k54.答案:-∞,54ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求圆的一般方程由圆的一般方程可以看出,圆的一般方程由三个系数D,E,F唯一确定,因此求圆的一般方程通常用待定系数法,其步骤是:(1)设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根据条件列出方程组;(3)解方程组得D,E,F的值,并写出圆的一般方程.典型例题2已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.思路分析:设出圆的方程,将各点坐标代入方程列方程组求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法一:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C在圆上,∴1+16+𝐷+4𝐸+𝐹=0,4+9-2𝐷+3𝐸+𝐹=0,16+25+4𝐷-5𝐸+𝐹=0,∴𝐷=-2,𝐸=2,𝐹=-23,∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.解法二:设△ABC的外接圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,∵A,B,C在圆上,∴(1-𝑎)2+(4-𝑏)2=𝑟2,(-2-𝑎)2+(3-𝑏)2=𝑟2,(4-𝑎)2+(-5-𝑏)2=𝑟2,解得𝑎=1,𝑏=-1,𝑟=5,即外接圆的圆心为(1,-1),半径为5,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25,展开易得其一般方程为x2+y2-2x+2y-23=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四方法总结解法一与解法二都是待定系数法求圆的方程,但解法二中的方程组是二元一次方程组,显然不如解法一中的方程组容易解,所以:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.实际上,本题也可以先求出线段AB,AC的垂直平分线方程,再求出它们的交点,即为圆心,并求出半径.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是.解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是-𝐷2,-𝐸2,由题意知,-𝐷2=-𝐸2,2-𝐷+𝐸+𝐹=0,10+3𝐷-𝐸+𝐹=0,解得D=E=-4,F=-2,即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案:x2+y2-4x-4y-2=0ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三求动点的轨迹方程动点的轨迹方程就是关于动点的坐标的一个等式.求动点的轨迹方程一般有以下几种情况:(1)对于已知(或能判定)曲线类型或形状的曲线求方程,常用直接法、待定系数法.(2)对于不能判定曲线类型或形状的曲线求方程,主要有以下两类:①若所求轨迹的动点依赖于已知轨迹上的点的运动而运动,设出这两个动点,利用这两个动点坐标之间的关系,用代入法求解.②若不是①的情况时,常用直接法求曲线的方程,其一般步骤为:建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y);列出点M所满足的条件;用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0;将上述方程化简;证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3(1)已知点A(4,0),P是圆x2+y2=1上的动点,求AP的中点M的轨迹方程;(2)已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析:(1)用动点M的坐标表示出P的坐标,再代入圆的方程x2+y2=1并化简即可;(2)设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)设AP的中点M的坐标为(x,y),则点P的坐标是(2x-4,2y).又因为P是圆x2+y2=1上的点,所以P点满足圆的方程,则(2x-4)2+(2y)2=1.即(x-2)2+y2=14为所求.(2)设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得(𝑥-4)2+(𝑦-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,如图所示.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,所以C点的横坐标x≠3,而且点B,C不能为一直径的两端点,所以𝑥+32≠4,即点C的横坐标x≠5.故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程;(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)设动点M的坐标为(x,y),∵A(2,0),B(8,0),|MA|=12|MB|,∴(x-2)2+y2=14[(x-8)2+y2].化简得x2+y2=16,即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.(2)设点N的坐标为(x,y),∵A(2,0),N为线段AM的中点,∴点M的坐标为(2x-2,2y).又点M在圆x2+y2=16上,∴(2x-2)2+4y2=16,即(x-1)2+y2=4.∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点运用圆的方程因忽视隐含条件而致错典型例题4若动点(x,y)在圆x2+y2-4x=0上,求3x2+4y2的最大值.错解:由x2+y2-4x=0,得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,所以当x=8时,3x2+4y2取得最大值64.错因分析:圆x2+y2-4x=0即(x-2)2+y2=4是一个封闭图形,表示以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,所以x的取值范围不是R,而是[0,4].正解:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,所以y2=4x-x2,x∈[0,4].所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64.因为x∈[0,4],所以当x=4时,3x2+4y2取得最大值48.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三反思用函数思想求与圆有关的最值问题时,一定注意不能忽略圆上的点(x,y)中的x,y的限制条件,也就是说要注意自变量的取值范围.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0