搜索
-1-4.2.2圆与圆的位置关系首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种,分别为相离、外切、相交、内切、内含.名师点拨两圆的公切线条数:(1)两圆相离时,有四条公切线;(2)两圆外切时,有三条公切线;(3)两圆相交时,有两条公切线;(4)两圆内切时,有一条公切线;(5)两圆内含时,没有公切线.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.圆与圆位置关系的判定(1)几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=𝑟12(r10),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=𝑟22(r20),两圆的圆心距d=|O1O2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2,则有位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|d|r1-r2|JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12(2)代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含名师点拨(1)若直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)相交于P,Q两点,则过交点P,Q的圆的方程可设为(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).这些圆的圆心均在公共弦PQ的垂直平分线上,且以PQ为直径的圆最小.(2)过C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(𝐷12+𝐸12-4F10),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(𝐷22+𝐸22-4F20)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).当λ=-1时,所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程.即两圆公共弦所在直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做1(2015河南郑州高一期末)圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离解析:两个圆的半径分别为1和3,圆心距是5,254,所以两圆相交.答案:B做一做2两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为.答案:0或±25JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12判一判正确的画“”,错误的画“×”.(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.()(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.()(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.()(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一判断两圆的位置关系判断两圆的位置关系有两种方法:几何法与代数法.几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而更进一步体现了几何问题与代数问题之间的相互联系.但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系,而不能像几何判定方法一样,能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.例如,当由两圆的方程联立的方程组只有一组解时,圆与圆有内切与外切两种关系,具体是哪一种相切,这是用代数法无法判断的,因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或不相交.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三典型例题1已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.∴|C1C2|=(𝑎-2𝑎)2+(1-1)2=a.(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3|C1C2|5,即3a5时,两圆相交.(3)当|C1C2|5,即a5时,两圆外离.(4)当|C1C2|3,即a3时,两圆内含.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三变式训练1两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,求a的值.解:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a0.两圆的圆心、半径长分别为(0,0),𝑎与(-3,4),6.由于两圆内切,则(0+3)2+(0-4)2=|𝑎-6|,解得a=121或a=1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二两圆相交问题当两圆方程中二次项系数相同时,两方程相减即得公共弦所在直线方程.若求公共弦长,则可看作公共弦所在直线与其中一圆相交,利用半径、弦心距、半弦长的关系求解.若求过两圆交点的圆的方程,可利用圆系方程求解.当然也可将两圆的方程联立,解出两交点坐标,利用两点式求出公共弦所在直线方程,并求出弦长.典型例题2已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组𝑥2+𝑦2+6𝑥-4=0,①𝑥2+𝑦2+6𝑦-28=0②的解.①-②得x-y+4=0.∵A,B两点坐标都满足此方程,∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.又∵圆C1的圆心(-3,0),r=13,C1到直线AB的距离为d=|-3+4|2=22,∴|AB|=2𝑟2-𝑑2=213-12=52,即两圆的公共弦长为52.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)方法一:解方程组𝑥2+𝑦2+6𝑥-4=0,𝑥2+𝑦2+6𝑦-28=0,得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.则(𝑎+1)2+(𝑎-4-3)2=(𝑎+6)2+(𝑎-4+2)2,解得a=12,故圆心为12,-72,半径为892.故圆的方程为𝑥-122+𝑦+722=892,即x2+y2-x+7y-32=0.方法二:设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),其圆心为-31+𝜆,-3𝜆1+𝜆,代入x-y-4=0,解得λ=-7.故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.方法总结由本题(2)的解法二可以看出,本题用圆系方程求解比较简单.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三变式训练2已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线经过点(5,-2),求圆C的方程.解:设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为x+2y-5=-r2,因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三两圆相切问题两圆相切包括外切与内切,外切时,圆心距等于两半径之和,内切时,圆心距等于两半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.典型例题3求与圆C:x2+y2-2x=0外切,且与直线l:x+3y=0相切于点M(3,-3)的圆的方程.解:圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0),半径为1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意可得(𝑎-1)2+𝑏2=𝑟+1,𝑏+3𝑎-3×-33=-1,|𝑎+3𝑏|2=𝑟,解得𝑎=4,𝑏=0,𝑟=2.所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.圆O1:(x+2)2+y2=4与圆O2:(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析:圆O1的圆心为(-2,0),半径r1=2,圆O2的圆心为(2,1),半径r2=3,|O1O2|=42+12=17.因为r2-r1|O1O2|r1+r2,所以两圆相交.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.已知圆A、圆B相切,圆心距为10cm,其中圆A的半径为4cm,则圆B的半径为()A.6cm或14cmB.10cmC.14cmD.无解解析:∵圆A与圆B相切包括内切与外切,设圆B的半径为rcm,∴10=4+r或10=r-4,即r=6或14.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.答案:4x+3y-2=0SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是.解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.依题意,-𝜆-22=0,λ=2.故圆的方程为x2