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-1-4.2.3直线与圆的方程的应用首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.能正确理解直线与圆的方程.2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际问题.3.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.用直线与圆的方程解决实际问题的步骤(1)从实际问题中提炼几何图形;(2)建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题转化为代数问题;(3)通过代数运算,解决代数问题;(4)将结果“翻译”成几何结论并作答.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.用坐标方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题转化为代数问题;(2)通过代数运算,解决代数问题;(3)将代数运算结果“翻译”成几何结论.名师点拨坐标法也叫解析法,其实质是几何问题代数化,沟通几何与代数的“桥梁”就是坐标系,通过坐标系把几何元素“点”“线”用代数中的“点的坐标”“线的方程”来表示,并通过“点的坐标”和“线的方程”来研究几何图形的性质.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一直线与圆的方程的实际应用1.解决直线与圆的方程的实际应用题时,应注意以下几个方面:2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则:(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三典型例题1已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,求B城市处于危险区内的时间.解:如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动.则点B到AC的距离为202千米.则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为2302-(202)2=20(千米).所以B城市处于危险区内的时间为t=2020=1(小时).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三变式训练1一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为𝑥7+𝑦4=1,即4x+7y-28=0.圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d=|28|42+72=2865,而半径长r=3,∵dr,∴直线与圆相离.故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二坐标法在平面几何中的应用坐标法解决几何问题,要先建立适当的坐标系,用坐标、方程表示出相应的几何元素,如点、直线、圆等,将几何问题转化为代数问题来解决,通过代数的运算得到结果,分析结果的几何意义,得到几何结论.其中建立适当的坐标系是解题的关键,一般建系时要坚持如下原则:(1)若有两条互相垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴;(2)充分利用图形的对称性;(3)让尽可能多的点落到坐标轴上,或关于坐标轴对称;(4)关键点的坐标易于求得.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三典型例题2如图所示,在圆O上任取C点为圆心,作一圆C与圆O的直径AB相切于D,圆C与圆O交于E,F,且EF与CD相交于H.求证:EF平分CD.思路分析:建立适当坐标系,设出圆O和圆C的方程,利用两圆相交求公共弦的方程,证明CD与EF的交点是线段CD的中点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:以AB所在直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系.如图,设|AB|=2r,D(a,0),则|CD|=𝑟2-𝑎2,∴C(a,𝑟2-𝑎2).∴圆O:x2+y2=r2,圆C:(x-a)2+(y-𝑟2-𝑎2)2=𝑟2-𝑎2.两方程作差得直线EF的方程为2ax+2𝑟2-𝑎2y=r2+a2.令x=a,得y=12𝑟2-𝑎2,∴H𝑎,12𝑟2-𝑎2,即H为CD的中点.∴EF平分CD.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三变式训练2如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上,故|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三与圆有关的最值问题典型例题3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)𝑦𝑥的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.思路分析:本题可将𝑦𝑥和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.设𝑦𝑥=k,即y=kx,易知圆心(2,0)到y=kx的距离等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由|2𝑘-0|𝑘2+1=3,解得k2=3.∴k=3或k=-3.∴𝑦𝑥的最大值为3,最小值为-3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)设y-x=b,则y=x+b,由点到直线的距离公式,得|2-0+𝑏|2=3,即b=-2±6.故y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2-0)2+(0-0)2=2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.方法总结求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,常常根据式子的结构特征,寻找它的几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三变式训练3如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求𝑦𝑥的最大值与最小值.解:设P(x,y),则P点的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.而𝑦𝑥的几何意义就是直线OP的斜率,设𝑦𝑥=k,则直线OP的方程为y=kx.由图可知,当直线OP与圆相切时,斜率取最值.∵点C(3,3)到直线y=kx的距离d=|3𝑘-3|𝑘2+1,∴当|3𝑘-3|𝑘2+1=6,即k=3±22时,直线OP与圆相切.∴𝑦𝑥的最大值与最小值分别是3+22与3-22.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r0)相切,则r的值是()A.22B.2C.322D.1解析:将x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后,所得直线的方程为x-y=1.又圆的圆心坐标为(0,1),故直线与圆相切时有r=|0-1-1|2=2,于是r的值为2.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.实数x,y满足方程x+y-4=0,则x2+y2的最小值为()A.4B.6C.8D.12解析:令x2+y2=r2,则x2+y2的最小值即为圆x2+y2=r2与直线相切时的圆的半径的平方,所以r=|0+0-4|12+12=22,即x2+y2的最小值为8.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.若圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两个点P和Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=.解析:由题意得直线kx-y+4=0经过圆心C-12,3,所以-𝑘2-3+4=0,解得k=2.答案:2SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过米.解析:如图是卡车在隧道内的截面图,由题意知OA=3.6米,AB=0.8米,则车高OB=𝑂𝐴2-𝐴𝐵2=3.62-0.82≈3.5(米).答案:3.5SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,求水面宽.(精确到0.01)SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12345解:如图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10.∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1m后,可设点A'的坐标为(x0,-3)(x00),将A'的坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0=51.所以,水面下降1m后,水面宽为2x0=251≈14.28(m).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点