2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系课件 新人教A版必修2

-1-4.3空间直角坐标系首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.4.掌握空间两点间的距离公式,能够用空间两点间距离公式解决简单的问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1231.空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴,这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°图示说明在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,本书建立的坐标系都是右手直角坐标系JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做1在空间直角坐标系中,三条坐标轴()A.两两垂直,且相交于一点B.两两平行C.仅有两条不垂直D.仅有两条垂直答案:AJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1232.坐标如图所示,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨在给定的空间直角坐标系下,空间给定一点的坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有唯一的点与之对应,即空间内的点与有序实数组(x,y,z)是一一对应的.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),则𝑥0=𝑥1+𝑥22,𝑦0=𝑦1+𝑦22,𝑧0=𝑧1+𝑧22.这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做3已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是AB的中点,则C点的坐标为()A.(3,-2,2)B.(3,2,1)C.52,-72,32D.27,-12,52解析:设C(x,y,z),则x=3,y=-2,z=2.答案:AJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB,AD,AA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),则点C1的坐标是.答案:(1,1,1)JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1233.空间两点间的距离公式空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2+(𝑧1-𝑧2)2.名师点拨空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广,平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.做一做4在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)和点B(2,1,-1)间的距离为.答案:6JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123判一判正确的画“”,错误的画“×”.(1)空间直角坐标系中x轴上点的坐标x=0,z=0.()(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0.()(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变,横坐标相反.(4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换,结果保持不变.()答案:(1)×(2)×(3)(4)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求空间点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是:(1)过P作PC⊥z轴于点C;(2)过P作PM⊥平面xOy于点M,过M作MA⊥x轴于点A,过M作MB⊥y轴于点B;(3)设P(x,y,z),则|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|.当点A,B,C分别在x,y,z轴的正半轴上时,则x,y,z的符号为正;当点A,B,C分别在x,y,z轴的负半轴上时,则x,y,z的符号为负;当点A,B,C与原点重合时,则x,y,z的值均为0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(2)求点N的坐标.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)显然D(0,0,0),因为点A在x轴的正半轴上,且|AD|=3,所以A(3,0,0).同理,可得C(0,4,0),D1(0,0,5).因为点B在坐标平面xOy内,BC⊥CD,BA⊥AD,所以B(3,4,0).同理,可得A1(3,0,5),C1(0,4,5),与B的坐标相比,点B1的坐标中只有竖坐标不同,|BB1|=|AA1|=5,则B1(3,4,5).(2)由(1)知C(0,4,0),C1(0,4,5),则C1C的中点N为0+02,4+42,0+52,即N0,4,52.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练1􀎥在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求E,F的坐标.解法一:建立如图所示的空间直角坐标系,E点在xDy面上的射影为B,B(1,1,0),因为竖坐标为12,所以E1,1,12.F在xDy面上的射影为BD的中点G,竖坐标为1,所以F12,12,1.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法二:B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),E为B1B的中点,F为B1D1的中点,故E的坐标为1+12,1+12,1+02=1,1,12,F的坐标为1+02,1+02,1+12=12,12,1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求对称点的坐标1.求对称点的坐标可按以下规律写出:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反.”在空间直角坐标系中,任一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:对称轴或对称平面(中心)对称点坐标P(a,b,c)x轴(a,-b,-c)y轴(-a,b,-c)z轴(-a,-b,c)xOy平面(a,b,-c)yOz平面(-a,b,c)xOz平面(a,-b,c)坐标原点(-a,-b,-c)2.在空间直角坐标系中,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22,𝑧1+𝑧22.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.思路分析:求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即可写出对称点坐标.解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练2􀎥点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是,关于z轴的对称点是,关于M(1,2,1)的对称点是.解析:点P关于平面xOz对称后,它的纵坐标变为相反数,其他不变,因此第一个空应填(-3,-2,-1);P关于z轴对称后,它的竖坐标没变,横、纵坐标变为相反数,因此第二个空应填(3,-2,-1);设P关于M(1,2,1)对称后的点为(x,y,z),则由中点坐标公式得-3+𝑥2=1,2+𝑦2=2,-1+𝑧2=1,解得x=5,y=2,z=3.因此第三个空应填(5,2,3).答案:(-3,-2,-1)(3,-2,-1)(5,2,3)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三空间两点间距离公式及应用1.求线段长度问题就是把点的坐标代入空间两点间距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算,其一般步骤为:ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3如图所示,PA,AB,AD两两互相垂直,ABCD为矩形,M,N分别为AB,PC的中点,求证:MN⊥AB.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),设B(a,0,0),D(0,b,0),C(a,b,0),P(0,0,c).因为M,N分别是AB,PC的中点,所以M𝑎2,0,0,N𝑎2,𝑏2,𝑐2.所以|MN|=𝑎2-𝑎22+𝑏2-02+𝑐2-02=𝑏2+𝑐22,ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四|AM|=𝑎2-02+(0-0)2+(0-0)2=𝑎2,连接点A,N,则|AN|=𝑎2-02+𝑏2-02+𝑐2-02=𝑎2+𝑏2+𝑐22.在△AMN中,|AM|2+|MN|2=𝑎24+𝑏2+𝑐24=𝑎2+𝑏2+𝑐24=|