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-1-本章整合ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习圆与方程圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹方程标准方程:(𝑥-𝑎)2+(𝑦-𝑏)2=𝑟2(𝑟0)一般方程:𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0(𝐷2+𝐸2-4𝐹0)位置关系点与圆点在圆外:点到圆心的距离大于半径点在圆上:点到圆心的距离等于半径点在圆内:点到圆心的距离小于半径直线与圆相离:圆心到直线的距离大于半径相切:圆心到直线的距离等于半径相交:圆心到直线的距离小于半径圆与圆相离:圆心距大于两圆半径的和外切:圆心距等于两圆半径的和外交:圆心距小于两圆半径的和且大于两圆半径的差的绝对值内切:圆心距等于两圆半径的差的绝对值内含:圆心距小于两圆半径的差的绝对值应用:坐标法解决平面几何问题→三步曲→一建、二算、三译空间直角坐标系点的坐标:过点分别向坐标轴作垂线即可得到两点间的距离公式:|𝑃1𝑃2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2+(𝑧1-𝑧2)2SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题一求圆的方程求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.一般地,当已知圆的圆心或半径的几何特征时,设圆的标准方程,并结合圆的几何性质求解;当已知圆上三个点时,设圆的一般方程;当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时,常利用圆系方程来解答.过两圆交点的圆系过两个已知圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(*)方程(*)是一个圆系的方程,这些圆的圆心都在两圆的连心线上,圆系方程代表的圆不包含圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0.当λ=-1时,(*)表示一条直线:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(**)若两圆相交,则方程(**)是它们的公共弦所在直线的方程;若两圆相切,则方程(**)就是它们的公切线方程.过直线与圆的交点的圆系方程过已知直线l:Ax+By+C=0和圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三例1求圆心在直线3x+4y-1=0上,且经过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5的交点的圆的方程.思路分析:可先用待定系数法设出过两圆交点的圆系方程,再由圆心在已知直线上确定出系数;也可以先求出两圆交点坐标,再设出圆的一般方程,结合圆心在已知直线上求出待定系数.解法一:设所求圆为x2+y2-x+y-2+λ(x2+y2-5)=0,化为一般式,得x2+y2-11+𝜆x+11+𝜆y-2+5𝜆1+𝜆=0.故圆心坐标为12(1+𝜆),-12(1+𝜆),代入直线3x+4y-1=0,得λ=-32.再把λ代回所设方程,得x2+y2+2x-2y-11=0,故所求圆的方程为x2+y2+2x-2y-11=0.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三解法二:解方程组𝑥2+𝑦2-𝑥+𝑦-2=0,𝑥2+𝑦2=5,得两圆的交点为A(1,-2)和B(2,-1).设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵A,B在圆上,且圆心-𝐷2,-𝐸2在直线3x+4y-1=0上,∴5+𝐷-2𝐸+𝐹=0,5+2𝐷-𝐸+𝐹=0,3·-𝐷2+4·-𝐸2-1=0.解得𝐷=2,𝐸=-2,𝐹=-11.∴所求圆的方程是x2+y2+2x-2y-11=0.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题二直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.2.解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三例2如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为23,所以d=22-(3)2=1.由点到直线的距离公式得d=|1-𝑘(-3-4)|1+𝑘2,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-724,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-1𝑘(x-a).因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即|1-𝑘(-3-𝑎)-𝑏|1+𝑘2=5+1𝑘(4-𝑎)-𝑏1+1𝑘2,SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5.因为k的取值范围有无穷多个,所以𝑎+𝑏-2=0,𝑏-𝑎+3=0或𝑎-𝑏+8=0,𝑎+𝑏-5=0,解得𝑎=52,𝑏=-12或𝑎=-32,𝑏=132.这样点P只可能是52,-12或-32,132.经检验点P满足题目条件.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题三数学思想方法1.数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法,是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.解析几何研究问题的主要方法——坐标法,就是体现数形结合的典范.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三例3已知实数x,y满足y=3-𝑥2,试求代数式(1)𝑦+1𝑥+3;(2)2x+y的取值范围.解:(1)如图所示,y=3-𝑥2化为x2+y2=3(y≥0),表示的图形为半圆弧,𝑦+1𝑥+3的几何意义为定点A(-3,-1)与半圆弧上任意一点M(x,y)的连线的斜率.利用数形结合法可知kAB≤𝑦+1𝑥+3≤kAC.又B(3,0),kAB=-1-0-3-3=3-36,设直线AC的方程为y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0.∵直线AC与半圆相切,∴|3𝑘-1|1+𝑘2=3,即3k2-3k-1=0,解得k=3+216或3-216(舍去).∴kAC=3+216.∴3-36≤𝑦+1𝑥+3≤3+216.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三(2)如图所示,2x+y可以看作直线2x+y=b与半圆有交点时的纵截距,当直线2x+y=b过点D(-3,0)时,b取得最小值,bmin=-23;当直线2x+y=b与半圆相切时b取得最大值.由|𝑏|5=3,得b=±15,b=-15不合题意,舍去,∴bmax=15.∴-23≤2x+y≤15.综上可知,代数式𝑦+1𝑥+3的取值范围是3-36,3+216,2x+y的取值范围是[-23,15].SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三2.分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点.其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时要分类讨论,在求直线的斜率问题,用斜率表示直线方程时要分类讨论.例4求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.解:由题意,所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标O1(a,4)或O1(a,-4).又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心O2坐标为(2,1),半径为3,(1)若两圆内切,则|O1O2|=4-3=1,即(a-2)2+(4-1)2=12或(a-2)2+(-4-1)2=12,两方程都无解.(2)若两圆外切,则|O1O2|=4+3=7,即(a-2)2+(4-1)2=72,有a=2±210或(a-2)2+(-4-1)2=72,有a=2±26.∴所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点