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-1-单元整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习数学归纳法数学归纳法原理数学归纳法应用整除问题几何问题等式问题证明不等式贝努利不等式其他不等式ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正确地使用数学归纳法.(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立,但是一般的并不成立,我们举几个例子来看看.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如22𝑛+1的数,n=0,1,2,3,4时,它的值分别为3,5,17,257,65537.这5个数都是质数.因此费尔玛就猜想:对于任意的自然数n,式子22𝑛+1的值都是质数.但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出n=5时,225+1=4294967297=641×6700417.是个合数,费尔玛的猜想错了.这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳法证明时第二步不可缺少.(2)缺少数学归纳法的第一步.也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木,下面我们看一个这样的例子.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例1】如果不要奠基步骤,试证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(n∈N+).剖析:假设n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时,[(k+1)+1]2+[(k+1)+2]2=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2).由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数,这就是说n=k+1时命题也成立.由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数.这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤,实际上,n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数学归纳法时缺第一步不可.专题一专题二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】用数学归纳法证明:𝑎𝑛+𝑏𝑛2≥𝑎+𝑏2𝑛(a,b是非负数,n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=𝑎+𝑏2=右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,有𝑎𝑘+𝑏𝑘2≥𝑎+𝑏2𝑘.∵a,b是非负数,∴𝑎+𝑏2≥0.∴𝑎𝑘+𝑏𝑘2·𝑎+𝑏2≥𝑎+𝑏2𝑘·𝑎+𝑏2.即𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+14+𝑎𝑘b+a𝑏𝑘4≥𝑎+𝑏2𝑘+1,又(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(ak-bk)(a-b).若a≥b≥0,则a-b≥0,ak≥bk,ak-bk≥0,∴(ak-bk)(a-b)≥0;专题一专题二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二若ab,则a-b0,akbk,ak-bk0,∴(ak-bk)(a-b)≥0.∴ak+1+bk+1≥akb+abk.∴𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+12=𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+14+𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+14≥𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+14+𝑎𝑘b+a𝑏𝑘4≥𝑎+𝑏2𝑘+1.故当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对任意n∈N+不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法假设证明关于正整数n的等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例3】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式成立.专题一专题二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.【例4】求证:1+12+13+…+12𝑛-1𝑛2(n∈N+).提示:利用数学归纳法证明不等式的关键是利用放缩来凑假设、凑结论.但要注意从n=k变化到n=k+1时增加了多少项,减少了多少项,一般用f(k+1)-f(k)研究增加或减少的项的多少.专题一专题二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=12,左边右边,∴不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,即1+12+13+…+12𝑘-1𝑘2.当n=k+1时,1+12+13+…+12𝑘-1+12𝑘-1+1+…+12𝑘2k-1项𝑘2+2k-1×12𝑘=𝑘+12.∴n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知:1+12+13+…+12𝑛-1𝑛2(n∈N+).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.【例5】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求a2,a3;(2)证明:an=3𝑛-12.(1)解:∵a1=1,∴a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证法一:由已知an-an-1=3n-1,故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=3𝑛-12.所以证得an=3𝑛-12.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二证法二:数学归纳法:①当n=1时,a1=3-12=1,an=3𝑛-12成立.②假设当n=k(k≥1)时,an=3𝑛-12成立,即ak=3𝑘-12,那么当n=k+1时,ak+1=3k+ak=3k+3𝑘-12=2×3𝑘+3𝑘-12=3𝑘(2+1)-12=3𝑘+1-12,即当n=k+1时,an=3𝑛-12成立.综合①②,an=3𝑛-12对一切n∈N+均成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二4.拼凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常用拼凑法.【例6】若不等式1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3+…+13𝑛+1𝑎24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.提示:从n=k到n=k+1时,为利用假设需增加因式1𝑘+1,对于除含有n=k的因式外的其余的项运用不等式的性质证明其大于零即可.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二证明:当n=1时,11+1+11+2+13×1+1𝑎24,即2624𝑎24,∴a26.又a∈N+,∴a的最大值为25.下面用数学归纳法证明1𝑛+1+1𝑛+2+…+13𝑛+12524.(1)当n=1时,已证.(2)假设当n=k时,1𝑘+1+1𝑘+2+…+13𝑘+12524,则当n=k+1时,有1(𝑘+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+13𝑘+1+13𝑘+2+13𝑘+3+13(𝑘+1)+1=1𝑘+1+1𝑘+2+…+13𝑘+1+13𝑘+2+13𝑘+3+13𝑘+4-1𝑘+12524+13𝑘+2+13𝑘+4-23(𝑘+1).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二∵13𝑘+2+13𝑘+4=6(𝑘+1)9𝑘2+18k+823(𝑘+1),∴13𝑘+2+13𝑘+4−23(𝑘+1)0.∴1(𝑘+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+13(𝑘+1)+12524也成立.由(1)(2)知,对一切n∈N+,都有1𝑛+1+1𝑛+2+…+13𝑛+12524.∴a的最大值为25.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习5.几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证n=k+1时命题成立的结论中,分解出n=k时命题成立的部分,然后去证余下的部分.【例7】证明:凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°(n≥3).证明:(1)当n=3时,f(3)=180°,(3-2)×180°=180°.故命题成立.(2)假设当n=k(k≥3)时,有f(k)=(k-2)×180°,则当边数n=k+1时,把k+1边形分割为一个k边形和一个三角形,则凸k+1边形的内角和为凸k边形内角和加上这个三角形的内角和.所以f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)×180°+180°=[(k+1)-2]×180°.故当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)得,当n≥3时,凸n边形内角和为f(n)=(n-2)×180°.专题一专题二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习