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-1-第四讲用数学归纳法证明不等式测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为()A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析:左边=1+2+22+…+25n-1,所以n=1时,应为1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.答案:D2.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是()A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)解析:分别取n=1,2,3,4验证,得f(n)=答案:A3.用数学归纳法证明3nn3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由n≥3,n∈N知,应验证n=3.答案:C4.用数学归纳法证明“2nn2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析:取n=1,2,3,4,5,6,7计算知n0=5.-2-答案:C5.下列说法中正确的是()A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题解析:由完全归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.答案:D6.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有()A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析:数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.答案:C7.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N)时,证明从n=k到n=k+1的过程中,相当于在假设成立的那个式子的两边同乘以()A.2k+2B.(2k+1)(2k+2)C.D.解析:当n=k时,左边最后一项为(k+k),当n=k+1时,左边最后一项应为(k+1+k+1)=(2k+2),所以n=k到n=k+1时,式子左边增加了两项(2k+1),(2k+2),减少了一项(k+1).所以两边应同乘以.答案:D8.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a+b整除”时,其第二步论证应该是()-3-A.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+1时命题也成立B.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2k+1时命题也成立C.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+2时命题也成立D.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时命题也成立解析:第k个偶数应是2k,所以应假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时也成立.答案:D9.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N+)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是()A.16(42k-1+3k+1)-13×3k+1B.4×42k+9×3kC.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1解析:42k+1+3k+2=16×42k-1+3k+2=16(42k-1+3k+1)+3k+2-16×3k+1=16(42k-1+3k+1)-13×3k+1.答案:A10.用数学归纳法证明不等式1++…+成立时,起始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化为,即2,即2-,所以2-,即,即.故262n-1,即n-16,故n7,所以起始值最小取8.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n=时等式成立.-4-解析:∵n=k为偶数,∴下一个偶数为n=k+2.答案:k+212.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,那么a=,b=,c=.解析:取n=1,2,3,得解得a=,b=,c=.答案:13.用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N),在验证n=1时,等式右边的式子是.解析:当n=1时,右边==cosα.答案:cosα14.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,从“n=k到n=k+1”,左边需增添的代数式是.解析:当n=k时,左边共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+…+(2k+1),则当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).答案:(2k+2)+(2k+3)15.用数学归纳法证明+…+,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是.-5-解析:注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以n=k+1时,应为+…+.答案:+…+三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)求数列:,…,,…的前n项和Sn.解:S1=;S2=;S3=;由以上计算可猜想数列的前n项和Sn=+…+.下面用数学归纳法证明此等式对任何n∈N+都成立.证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即+…+.当n=k+1时,+…+-6-,这就是说,当n=k+1时,等式成立,即Sn=+…+.根据(1)(2)知,等式对于任何n∈N+都成立.17.(8分)设{xn}是由x1=2,xn+1=(n∈N+)定义的数列,求证:xn.解：证明:由题意可知,xk+1=2·.xn显然成立.下面用数学归纳法证明xn.(1)当n=1时,x1=2+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即xk,那么,当n=k+1时,xk+1=.由归纳假设,xk,则,.∵xk,∴.∴xk+1=.-7-即xk+1.∴当n=k+1时,不等式xn成立.综上,得xn(n∈N+).18.(9分)设实数c0,整数p1,n∈N*.(1)证明:当x-1且x≠0时,(1+x)p1+px;(2)数列{an}满足a1,an+1=an+,证明:anan+1.解：(1)证明:用数学归纳法证明.①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x-1,x≠0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.(2)证法一:先用数学归纳法证明an.①当n=1时,由题设a1知an成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak成立.由an+1=an+易知an0,n∈N*.-8-当n=k+1时,=1+.由ak0得-1-0.由(1)中的结论得1+p·.因此c,即ak+1.所以n=k+1时,不等式an也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an均成立.再由=1+可得1,即an+1an.综上所述,anan+1,n∈N*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x≥,则xp≥c,并且f'(x)=(1-p)x-p=0,x.由此可得,f(x)在[,+∞)上单调递增.因而,当x时,f(x)f()=.-9-①当n=1时,由a10,即c可知a2=a1+=a1a1,并且a2=f(a1),从而a1a2.故当n=1时,不等式anan+1成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式akak+1成立,则当n=k+1时,f(ak)f(ak+1)f(),即有ak+1ak+2.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式anan+1均成立.