搜索
-1-模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1解析:由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.答案:B2.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1,π)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为.答案:B3.在极坐标系中,点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()A.2B.C.D.-2-解析:圆ρ=2cosθ在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,).∴圆心(1,0)与(1,)的距离为d=.答案:D4.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线解析:ρ=1表示圆,θ=π表示一条射线.答案:C5.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=且3-,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案:B6.直线3x-4y-9=0与圆(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析:圆的参数方程可化为x2+y2=4,可求得该圆的圆心(0,0),半径r=2.显然圆心不在直线上,又由点到直线的距离公式知,圆心到直线的距离d=r,故选D.答案:D-3-7.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.B.C.1D.解析:曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和为d=|sinθ|+|cosθ|,不妨设θ∈,则d=|sinθ|+|cosθ|=sinθ+cosθ=sin,故最大值为.答案:D8.经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长为()A.B.C.D.解析:过点(1,1)倾斜角为135°的直线的参数方程为(t为参数),代入椭圆的方程可得=1,化简得5t2+6t+2=0.设两根为t1,t2,根据根与系数的关系可得t1+t2=-,t1t2=,则弦长为|t1-t2|=.答案:B9.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①-4-③(以上方程中,t为参数)可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A.①③B.①⑤C.①②④D.②④⑤解析:由双曲线的参数方程知,在双曲线中a=3,b=4且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③适合条件.答案:A10.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于()A.-1B.-1C.1D.解析:将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-1.答案:A第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为.解析:联立方程组得ρ(ρ-1)=1⇒ρ=,又ρ≥0,故所求为.答案:12.在极坐标系中,点到直线ρsinθ=2的距离等于.解析:在极坐标系中,点对应直角坐标系中坐标为(,1),直线ρsinθ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.-5-答案:113.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=.解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.答案:214.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.解析:由题意知在直角坐标系下,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.答案:315.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.解析:由三角函数定义知=tanθ(x≠0),y=xtanθ,由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,则y=xtanθ=cos2θtanθ=sinθcosθ,又θ=时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为(θ为参数).答案:(θ为参数)三、解答题(本大题共6小题,共75分)-6-16.(本小题12分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解:如图,在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.17.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.18.(本小题12分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0α2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),-7-因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0α2π).(2)M点到坐标原点的距离d=(0α2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.19.(本小题13分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.解:(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.20.(本小题13分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.-8-(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得所以C1与C2交点的极坐标分别为.21.(本小题13分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解-9-所以C1与C2交点的极坐标为.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1.所以解得a=-1,b=2.