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1课时跟踪检测(一)平面直角坐标系一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝5x，y′＝3y后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为()A．25x2＋9y2＝0B．25x2＋9y2＝1C．9x2＋25y2＝0D．9x2＋25y2＝1解析：选B把x′＝5x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1，得25x2＋9y2＝1，∴曲线C的方程为25x2＋9y2＝1.3．圆x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后所得图形的焦距为()A．4B．213C．25D．6解析：选C由伸缩变换x′＝2x，y′＝3y，得x＝x′2，y＝y′3，代入x2＋y2＝1，得x′24＋y′29＝1，该方程表示椭圆，∴椭圆的焦距为29－4＝25.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝12sin3x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.x＝3x′y＝12y′B.x′＝3xy′＝12yC.x＝3x′y＝2y′D.x′＝3xy′＝2y2解析：选D设伸缩变换公式为x′＝λxλ，y′＝μyμ，则μy＝sinλx，即y＝1μsinλx，∴λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为x′＝3x，y′＝2y.二、填空题5．y＝cosx经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由x′＝2x，y′＝3y，得x＝12x′，y＝13y′，代入y＝cosx，得13y′＝cos12x′，即y′＝3cosx′2.答案：y′＝3cosx′26．将点P(－2，2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为x′＝λxλ0，y′＝μyμ，则－6＝－2λ，1＝2μ，解得λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为x′＝3x，y′＝12y.答案：x′＝3x，y′＝12y7．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝cosωx(ω0)，f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f2(x)＝cosωx，x∈R(ω0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的，所以13＝1ω，即ω＝3.3答案：3三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后的图形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.解：由伸缩变换x′＝12x，y′＝13y得到x＝2x′，y＝3y′.①(1)将①代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x′214＋y′219＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B(b,0)，C(0，c)，则M点的坐标为b2，c2.由于|BC|＝b2＋c2，|AM|＝b24＋c24＝12b2＋c2，故|AM|＝12|BC|.10．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程．4(1)曲线y＝2sinx4变换为曲线y＝sin2x；(2)圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程y＝sin2x改写为y′＝sin2x′，设伸缩变换为x′＝λxλ，y′＝μyμ，代入y′＝sin2x′得μy＝sin2λx，即y＝1μsin2λx，与原曲线方程比较系数得2λ＝14，1μ＝2，所以λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为x′＝18x，y′＝12y.即先使曲线y＝2sinx4上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18，得到曲线y＝2sin14x＝2sin2x，再将其纵坐标缩短到原来的12，得到曲线y＝sin2x.(2)将变换后的椭圆方程x29＋y24＝1改写为x′29＋y′24＝1，设伸缩变换为x′＝λxλ，y′＝μyμ，代入x′29＋y′24＝1得λ2x29＋μ2y24＝1，即λ32x2＋μ22y2＝1，与x2＋y2＝1比较系数得λ32＝1，μ22＝1，所以λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为x′＝3x，y′＝2y.即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆x295＋y2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆x29＋y24＝1.