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1课时跟踪检测(七)参数方程的概念一、选择题1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.x＝t2＋1y＝0B.x＝0y＝3t＋1C.x＝1＋sinθy＝0D.x＝4t＋1y＝0解析：选Dx轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.2．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A．(2,3)B．(1,5)C.0，π2D．(2,0)解析：选D当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0，所以过点(2,0)．3．在方程x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A．(2，－7)B.13，23C.12，12D．(1,0)解析：选C将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.x＝2ty＝tB.x＝－2ty＝tC.x＝2ty＝－tD.x＝－2ty＝－t解析：选A设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴x＝2t，y＝t.二、填空题5．已知曲线x＝2sinθ＋1，y＝sinθ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)，下列各点A(1,3)，B(2,2)，2C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B，C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．答案：A(1,3)6．若曲线x＝1＋cosθ，y＝2sinθ经过点32，a，则a＝________.解析：将点32，a代入曲线方程得cosθ＝12，a＝2sinθ＝±21－14＝±3.答案：±37．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为__________．解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.∴其参数方程为x＝1＋9t，y＝1＋12t.答案：x＝1＋9ty＝1＋12t三、解答题8.如图，已知定点A(2,0)，点Q是圆C：x2＋y2＝1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M，当Q在圆C上运动时，求点M的轨迹的参数方程．解：设点O到AQ的距离为d，则12|AM|·d＝12|OA|·|OM|·sin∠AOM，12|QM|·d＝12|OQ|·|OM|·sin∠QOM，又∠AOM＝∠QOM，所以|AM||QM|＝|OA||OQ|＝2，所以AM―→＝23AQ―→.设点Q(cosθ，sinθ)，M(x，y)，则(x－2，y－0)＝23(cosθ－2，sinθ－0)，即x＝23＋23cosθ，y＝23sinθ，故点M的轨迹的参数方程为x＝23＋23cosθ，y＝23sinθ(θ为参数)．39.某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100m/s，如图所示．(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，易知炸弹在飞行时作平抛运动，依题意得x＝100t，y＝2000－12gt2，即x＝100t，y＝2000－5t2，令y＝2000－5t2＝0，得t＝20，所以飞机投弹ts后炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，其中0≤t≤20.(2)易知炸弹的水平方向运动和汽车的运动均为匀速直线运动．以汽车为参考系，水平方向上s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600m.10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋y24＝1的弦的中点的轨迹方程．解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．设中点P(x，y)，则有x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.由y＝kx＋1，x2＋y24＝1得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，∴x1＋x2＝－2kk2＋4，y1＋y2＝8k2＋4，4∴x＝－kk2＋4，y＝4k2＋4就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．