2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（七）椭圆的简单几何性质（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（七）椭圆的简单几何性质层级一学业水平达标1．已知椭圆C1：x212＋y24＝1，C2：x216＋y28＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等解析：选D由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1D．x2＋y24＝1解析：选A依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x24＋y23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.34D.64解析：选A依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝ca＝12，即椭圆的离心率e＝12，故选A.4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.x22＋y24＝1B．x2＋y26＝1C.x26＋y2＝1D.x28＋y25＝1解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，2故可设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则c＝5.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋y26＝1.5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12解析：选D∵AP―→＝2PB―→，∴|AP―→|＝2|PB―→|.又∵PO∥BF，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，即aa＋c＝23，∴e＝ca＝12.6．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1m＝2，∴m＝14.答案：147．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e＝ca＝55，∴c2a2＝a2－b2a2＝15，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为x2a2＋5y24a2＝1(a0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴25a2＋5×164a2＝1.解得a2＝45.∴椭圆方程为x245＋y236＝1.3答案：x245＋y236＝18．设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A―→＝5F2B―→，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)．由F1A―→＝5F2B―→，得Bm＋625，n5.又A，B均在椭圆上，所以有m23＋n2＝1，m＋62523＋n52＝1，解得m＝0，n＝1或m＝0，n＝－1，所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由e＝22知ca＝22，故c2a2＝12，从而a2－b2a2＝12，b2a2＝12.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为x216＋y28＝1.10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是x－a22＋y2＝a22.∴y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故x2a2＋y2b2＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，4即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝ab2a2－b2，又0xa，∴0ab2a2－b2a，即2b2a2.由b2＝a2－c2，得a22c2，∴e22.又∵0e1，∴22e1.层级二应试能力达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点b2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为()A.1617B.41717C.45D.255解析：选D依题意得c＋b2c－b2＝53，∴c＝2b，∴a＝b2＋c2＝5b，∴e＝ca＝2b5b＝255.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.135解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63.4．若O和F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则OP―→·FP―→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，可得y20＝31－x204.∵FP―→＝(x0＋1，y0)，OP―→＝(x0，y0)，∴OP―→·FP―→＝x0(x0＋1)＋y20＝x0(x0＋1)＋31－x204＝x204＋x0＋3.此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OP―→·FP―→取得最大值，最大值为224＋2＋3＝6.5．过椭圆x24＋y23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入x24＋y23＝1，得124＋y23＝1，解得y2＝94，即y＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.答案：4,36．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt△ABF中，|AB|＝a2＋b2，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，6即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52.因为e0，所以e＝5－12.答案：5－127．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1，由m－mm＋3＝mm＋m＋30，可知mmm＋3，所以a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋m＋3，由e＝32，得m＋2m＋3＝32，解得m＝1.于是椭圆的标准方程为x2＋y214＝1，则a＝1，b＝12，c＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为－32，0，32，0；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，0，－12，0，12.8．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.7由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.