2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（七）计算导数（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（七）计算导数1．设函数f(x)＝cosx，则fπ2′＝()A．0B．1C．－1D．以上均不正确解析：选A注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A.2．下列各式中正确的是()A．(logax)′＝1xB．(logax)′＝ln10xC．(3x)′＝3xD．(3x)′＝3x·ln3解析：选D由(logax)′＝1xlna，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln3可知D正确．3．若指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.ln33D．－ln3解析：选Cf′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln3，故f′(－1)＝ln33.4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1B.12C．－12D．－1解析：选A因为y′＝2ax，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.又由题设条件知切线的斜率为2，即2a＝2，即a＝1，故选A.5．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－13.答案：1或－136．正弦曲线y＝sinx(x∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________________．2解析：∵y′＝(sinx)′＝cosx＝12，∵x∈(0,2π)，∴x＝π3或5π3.答案：π3，32或5π3，－327．求下列函数的导数：(1)y＝log2x2－log2x；(2)y＝－2sinx21－2cos2x4.解：(1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝1x·ln2.(2)y＝－2sinx21－2cos2x4＝2sinx22cos2x4－1＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝cosx.8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝a2x′＝－a2x2.∴过点P的切线方程为y－y0＝－a2x20(x－x0)．令x＝0，得y＝2a2x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·2a2x0·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.3