2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（三）三个正数的算术 几何平均不等式（含解析）新人教A版

1课时跟踪检测（三）三个正数的算术—几何平均不等式1．设x0，则y＝x＋4x2的最小值为()A．2B．22C．32D．3解析：选Dy＝x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3·3x2·x2·4x2＝3，当且仅当x2＝4x2，即x＝2时取“＝”号．2．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)解析：选B∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤x＋y＋z33，∴lg(xyz)≤lg8＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．3．若实数x，y满足xy0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：选Cxy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3312xy·12xy·x2＝3314x2y2＝3，当且仅当12xy＝x2，x2y＝2，即x＝1，y＝2时取“＝”号．故xy＋x2的最小值为3.4．已知a，b，c∈R＋，x＝a＋b＋c3，y＝3abc，z＝a2＋b2＋c23，则x，y，z的大小关系是()A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD．z≤y≤x解析：选B∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c3≥3abc，∴x≥y，又x2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac9，2z2＝3a2＋3b2＋3c29，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.5．设0x1，则x(1－x)2的最大值为________.解析：∵0x1，∴1－x0.故32x－x－x≤2x＋－x＋－x3＝23.∴x(1－x)2≤427，当且仅当x＝13时取等号．答案：4276．设x，y，z均大于0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为________．解析：∵6＝x＋3y＋4z＝x2＋x2＋y＋y＋y＋4z≥66x2y3z.∴x2y3z≤1，当且仅当x2＝y＝4z时取“＝”号．∴x2z3z的最大值为1.答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.则S＝12(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S＝12×3×4＝6.∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.∴333x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.∴(xyz)max＝1615.当且仅当x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．答案：161538．设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.证明：∵a，b，c∈R＋，∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a0.1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b·1b＋c·1a＋c＞0，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．9．若θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ＝12·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)≤12×233＝427.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝33时取等号．此时ymax＝239.10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有A＝k·v3，且有30＝k·103，∴k＝3100.∴A＝3100v3.设每千米的航行费用为R，则需时间为1v小时，∴R＝1v3100v3＋480＝3100v2＋480v＝3100v2＋240v＋240v≥333100v2·240v·240v＝36.当且仅当3100v2＝240v，4即v＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．