2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例（含解析）新人教A版选修1-

1课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.203C．－1D．－8解析：选C瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时解析：选Cy′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t8时，y′0，当8t≤9时，y′0，所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．3．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.332cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析：选D设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，则S(x)＝12×x32×32＋12×12－x32×32＝342x29－8x3＋16，∴S′(x)＝3449x－83.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，2∴当x＝6时，S(x)最小．∴S＝342×19×62－83×6＋16＝23(cm2)．4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x2x，x，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300解析：选D由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x400，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．5．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A．900元B．840元C．818元D．816元解析：选D设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底的面积为483＝16(m2)，则长为xm的一边的邻边长度为16xm，l＝16×15＋2×3x＋2×3×16x×12＝240＋72x＋16x，所以l′＝721－16x2.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)，当0＜x＜4时，l′＜0；当x＞4时，l′＞0.故当x＝4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最3大利润为________万元．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.67．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为______．解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0得h＝43R.当0h4R3时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．答案：43R8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲4广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为xm，则宽为2400xm，绿化区域的总面积为S(x)m2.则S(x)＝(x－6)2400x－4＝2424－4x＋6×2400x＝2424－4x＋3600x，x∈(6,600)．∴S′(x)＝－41－3600x2＝－x＋x－x2.令S′(x)＞0，得6＜x＜60；令S′(x)＜0，得60＜x＜600.∴S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，∴当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，∴S(x)max＝S(60)＝1944.∴当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1944m2.10．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝1128000x3－380x＋8(0x120)．(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油1128000×643－380×64＋8×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，1128000x3－380x＋8×ax＝22.5，∴a＝22.51128000x2＋8x－380，设h(x)＝1128000x2＋8x－380，则当h(x)最小时，a取最大值，h′(x)＝164000x－8x2＝x3－80364000x2，令h′(x)＝0⇒x＝80，5当x∈(0,80)时，h′(x)0，当x∈(80,120)时，h′(x)0，故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为∴a＝22.51128000×802＋880－380＝200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．层级二应试能力达标1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．2．某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．32m,16mB．30m,15mC．40m,20mD．36m,18m解析：选A要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为xm，则长为512xm，因此新墙总长度L＝2x＋512x(x＞0)，则L′＝2－512x2，令L′＝0，得x＝±16.∵x＞0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，∴堆料场的长为51216＝32(m)．3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为()6A．110元B．115元C．120元D．125元解析：选B设每件商品定价x元，依题意可得利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(0x200)，S′(x)＝－2x＋230，令－2x＋230＝0，得x＝115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．4．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.12πr2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r2－r21.∴S＝4πr2r21－r41.令(r2r21－r41)′＝0得r1＝22r.此时S＝4π·22r·r2－22r2＝4π·22r·22r＝2πr2.5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝400x，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝1600x＋4x，令f′(x)＝4－1600x2＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x－2＝8＋2x－x2(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×34(8＋2x－x2)2＝332(8＋2x－x2)．帐篷的体积为7V＝13×332(8＋2x－x2)(x－1)＋332(8＋2x－x2)＝32(8＋2x－x2)[]x－＋3＝32(16＋12x－x3)，V′＝32(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖出的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072极小值极大值0所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．8．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的