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1课时跟踪检测（二）四种命题四种命题间的相互关系层级一学业水平达标1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选D条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b.故选D.2．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B全是锐角”的否命题为()A．在△ABC中，若C≠90°，则A，B全不是锐角B．在△ABC中，若C≠90°，则A，B不全是锐角C．在△ABC中，若C≠90°，则A，B中必有一个是钝角D．以上都不对解析：选B“全是”的否定是“不全是”，故该命题的否命题为“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不全是锐角”．3．命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．4解析：选C“若a－3，则a－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.4．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上都不对解析：选C由四种命题的关系，知命题p与命题r互为逆否命题．5．在下列四个命题中，为真命题的是()A．“x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若acbc，则abD．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：选DA中命题的否命题为“x≠2时，x2－5x＋6≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c0时，为假命题；D中原命题与其逆否命题等价，都是真命题．26．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m－1xm＋1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．解析：由已知得，若1x2成立，则m－1xm＋1也成立．∴m－1≤1，m＋1≥2.∴1≤m≤2.答案：[1,2]8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)正数a的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．解：(1)原命题：若a是正数，则a的立方根不等于0，是真命题．逆命题：若a的立方根不等于0，则a是正数，是假命题．否命题：若a不是正数，则a的立方根等于0，是假命题．逆否命题：若a的立方根等于0，则a不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．3否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a1，所以4a－70.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：选C若c＝0，则ac2bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2bc2，则ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：选A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是()A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数解析：选C由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为若x＋y不是奇数，则x，y4不都是奇数，故选C.4．有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的．5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；全为真命题．答案：46．若命题“若xm－1或xm＋1，则x2－2x－30”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是_________．解析：由已知，易得{x|x2－2x－x|xm－1或xm＋1}．又{x|x2－2x－30}＝{x|x－1或x3}，∴－1≤m－1，m＋13或－1m－1，m＋1≤3，∴0≤m≤2.答案：[0,2]7．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c1，则a，b，c中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于13，则a＋b＋c≥1.由条件a≥13，b≥13，c≥13，三式相加得a＋b＋c≥1，显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a，5b，c∈R，若a＋b＋c1，则a，b，c中至少有一个小于13.8．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解：能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以cba；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以bac.总之由命题A为真可知：cba或bac.②同理由命题B为真可知acb或bac.从而可知，bac.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．