2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（二）综合法与分析法（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（二）综合法与分析法1．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法解析：选C直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析：选B结合分析法及综合法的定义可知B正确．3．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为()A．a＝bB．a＋b＝1C．a＋b＝－3D．a－b＝1解析：选D要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，即证|a＋1|＝|b＋2|，即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．4．已知a，b为正实数，函数f(x)＝12x，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A因为函数f(x)＝12x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较a＋b2，ab，2aba＋b的大小，因为a＋b2≥ab，两边同乘ab得：ab·a＋b2≥ab，即ab≥2aba＋b，故a＋b2≥ab≥2aba＋b，∴A≤B≤C.25.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．答案：对角线互相垂直(本题答案不唯一)6．如果aa＋bb＞ab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________．解析：∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有aa＋bb＞ab＋ba.答案：a≠b7．阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2.类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2.证明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得3cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2.8．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，②由①②得，B＝π3，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④得，a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c.从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．4