2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（五）全称量词与存在量词（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（五）全称量词与存在量词层级一学业水平达标1．已知命题p：∀x0，总有ex1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得ex0≤1B．∃x00，使得ex0≤1C．∀x0，总有ex≤1D．∀x≤0，总有ex1解析：选B因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定綈p为∃x00，使得ex0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为()A．若sinA＝sinB，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋10C．若lgx2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使14x03解析：选BA中，若sinA＝sinB，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lgx2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解14x3得14x34，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．3．命题“∃x0∈R,2x012或x20x0”的否定是()A．∃x0∈R,2x0≥12或x20≤x0B．∀x∈R,2x≥12或x2≤xC．∀x∈R,2x≥12且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥12且x20≤x0解析：选C原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；2C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x0，所以D是假命题．5．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(0,4]B．[0,4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有a0，Δ≤0，即a0，a2－4a≤0，解得0a≤4.综上，0≤a≤4，则命题p：0≤a≤4，所以綈p：a0或a4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．已知命题“∃x0∈R,2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋120”是真命题，即Δ＝(a－1)2－40，解得－1a3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；3(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0.(2)真命题．命题的否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p：∀a∈(0，b](b∈R且b0)，函数f(x)＝3sinxa＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p；(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．解：(1)綈p：∃a0∈(0，b](b∈R且b0)，函数f(x)＝3sinxa0＋π3的周期大于4π.(2)因为綈p是假命题，所以p是真命题，所以∀a∈(0，b]，2π1a≤4π恒成立，解得a≤2，所以b≤2，所以实数b的最大值是2.层级二应试能力达标1．已知f(x)＝3sinx－πx，命题p：∀x∈0，π2，f(x)0，则()A．p是假命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0C．p是真命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D．p是真命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0解析：选D由正弦函数的图象，知∀x∈0，π2，sinxx，又3π，∴当x∈0，π2时，3sinxπx，即∀x∈0，π2，f(x)0恒成立，∴p是真命题．4又全称命题的否定是特称命题，∴綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0.2．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋120；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝2.则下列判断正确的是()A．p是真命题B．q是假命题C．p，q都是假命题D．綈q是假命题解析：选Dp：2x2＋2x＋12＝2x2＋x＋14＝2x＋122≥0，∴p为假命题，綈p为真命题．q：sinx0－cosx0＝2sinx0－π4，∴x0＝34π时成立．故q为真，而綈q为假命题．3．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋12x＋340.给出下列结论：①命题p是真命题；②命题q是假命题；③命题(綈p)∧q是真命题；④命题p∨(綈q)是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③解析：选C对于命题p，因为函数y＝sinx的值域为[－1,1]，所以命题p为假命题；对于命题q，因为函数y＝x2＋12x＋34的图象开口向上，最小值在x＝－14处取得，且f－14＝11160，所以命题q为真命题．由命题p为假命题和命题q为真命题可得：命题(綈p)∧q是真命题，命题p∨(綈q)是假命题．故③④正确．4．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0解析：选D写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”5改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋40；②∀x∈{1，－1,0},2x＋10；③∃x0∈N，x20≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x＝－1时，2x＋10，故②错误．答案：36．已知命题p：∃c0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－30.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．解析：由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，所以03－c1，2c－30，解得2c3.故实数c的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a0成立”为真，试求参数a的取值范围．解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)0或f(2)0，即1＋2a＋2－a0，或4＋4a＋2－a0.整理得a－3或a－2.即a－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二：綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a0无解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则f，f，即1＋2a＋2－a≤0，4＋4a＋2－a≤0.解得a≤－3.故命题p中，a－3.即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．6解：易知f(t)∈12，3.由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)0对∀m∈12，3恒成立．所以g120，g，即12x－＋x－20，x－＋x－20，解得x2或x－1.故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．