2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（八）直线与椭圆的位置关系（习题课）（含解析）新人教A版

1课时跟踪检测（八）直线与椭圆的位置关系（习题课）层级一学业水平达标1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B.2．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()A.2b2aB.2a2bC.2c2aD.2c2b解析：选A最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，故最短弦长是2b2a.3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.－54，54B.54，－54C.－∞，－54∪54，＋∞D.－∞，－54∪－54，54解析：选C由y＝kx＋3，x216＋y24＝1得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)0，即k54或k－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.4．已知椭圆C：y29＋x2＝1，过点P12，12的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被2点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．4x＋2y－3＝0D．4x－2y－1＝0解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵点A，B在椭圆上，∴y219＋x21＝1，①y229＋x22＝1.②①－②，得y1＋y2y1－y29＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0.③∵P12，12是线段AB的中点，∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，代入③得y1－y2x1－x2＝－9，即直线AB的斜率为－9.故直线AB的方程为y－12＝－9x－12，整理得9x＋y－5＝0.5．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA―→＝3FB―→，则|AF―→|＝()A.2B．2C.3D．3解析：选A设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由FA―→＝3FB―→得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝43，y0＝13n.将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1.3解得n2＝1，∴|AF―→|＝－2＋n2＝1＋1＝2.6．已知斜率为2的直线l经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由2x－y－2＝0，x25＋y24＝1得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2＝0，所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝＋22532－4×0＝553.答案：5537．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1―→·MF2―→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF1―→⊥MF2―→，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴cb，∴c2b2＝a2－c2，即2c2a2，∴c2a212，即ca22.又e0，∴0e22.答案：0，228．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM―→|＝1，且PM―→·AM―→＝0，则|PM―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM―→·AM―→＝0，∴AM―→⊥PM―→.∴|PM―→|2＝|AP―→|2－|AM―→|2＝|AP―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP―→|min＝2，∴|PM―→|min＝3.4答案：39．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4.又e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，∴C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标x0＝x1＋x22＝32，y0＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点坐标为32，－65.10.如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2―→＝2F2B―→，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由AF2―→＝2F2B―→，解得x＝32，y＝－b2.代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1，即94a2＋14＝1，5解得a2＝3，b2＝2，所以椭圆方程为x23＋y22＝1.层级二应试能力达标1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．2B．1C．0D．0或1解析：选A由题意，得4m2＋n22，所以m2＋n24，则－2m2，－2n2，所以点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是()A.22B.233C.922D.2327解析：选A由mx2＋ny2＝1，y＝1－x消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝2nm＋n，∴x0＝nm＋n，代入y＝1－x得y0＝mm＋n.由题意y0x0＝22，∴mn＝22，选A.3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则yx－2的最小值为()A．1B．－16C．－233D．以上都不对解析：选C设yx－2＝k，则y＝k(x－2)．由4x2＋y2＝4，y＝kx－消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±233，∴kmin＝－233.选C.4．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程为x218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，7根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且y1－y2x1－x2＝－12，所以2a2＋2b2×－12＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以ca＝22，即e＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任取一点M，过M作MN垂直y轴于点N，若MP―→＝12MN―→，点P的轨迹图形的面积为π，则a的值为________．解析：设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(0，y0)，由条件MP―→＝12MN―→可知点P是线段MN的中点，故x＝12x0，y＝y0，即x0＝2x，y0＝y，由离心率为ca＝32，可得4c2＝3a2，即4a2－4b2＝3a2，故a＝2b.故椭圆方程为x24b2＋y2b2＝1，把点M(x0，y0)代入可得x24b2＋y2b2＝1，即x2＋y2＝b2，表示半径为b的圆，面积为πb2＝π.故b＝1，a＝2b＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时OA―→⊥OB―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝22－32＝1.故曲线C的方程为y24＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋1，y2＋4x2＝4.8消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA―→⊥OB―→，则x1x2＋y1y2＝0.因为y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，所以x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝－4k2－1k2＋4＝0，所以k＝±12.当k＝±12时，x1＋x2＝∓417，x1x2＝－1217.所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝54×±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内，已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为－34.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点12，0作直线l与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．解：(1)设P点的坐标为(x，y)，依题意，有yx－2·yx＋2＝－34(x≠±2)，化简并整理，得x24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P的轨迹C的方程是x24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意，直线l过点12，0且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋12，9联立x＝my＋12，x24＋y23＝1消去x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，∴Δ0恒成立．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1＋y2＝－3m3m2＋4，∴y0＝y1＋y22＝－3mm2＋，∴x0＝my0＋12＝23m2＋4，∴k＝y0x0－2＝m4m2＋4.①当m＝0时，k＝0；②当m≠0时，k＝14m＋4m.∵4m＋4m＝4|m|＋4|m|≥8，∴014m＋4m≤18，∴0|k|≤18，∴－18≤k≤18且k≠0.综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是－18，18.