2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在解析：选A因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)0.2．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0解析：选Af′(2)＝limΔx→014＋Δx2－14×4Δx＝limΔx→014Δx＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A.3.已知y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)f′(xB)，选B.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为()A.13B.23C．－23D．－13解析：选D由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×ab＝－1，∴ab＝－13.5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．解析：设P(x0,2x20＋4x0)，2则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0x2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．答案：(3,30)6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则limΔx→0f＋Δx－fΔx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，limΔx→0f＋Δx－fΔx＝f′(1)＝kAB＝0－42－0＝－2.答案：－27．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝1t－x上．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程．解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝1t－x，得t＝1，∴f(x)＝11－x.∴f′(2)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→011－＋Δx－11－2Δx＝limΔx→011＋Δx＝1，曲线在点P处的切线斜率为1.(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵ΔyΔx＝x＋Δx2＋1－x2－1Δx＝2x＋Δx，3∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．4