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1课时跟踪检测（十一）排序不等式1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是()A．100,85B．100,80C．95,80D．95,85解析：选B由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.2．若0a1a2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.12解析：选A因为0a1a2,0b1b2，所以由排序不等式可知a1b1＋a2b2最大．3．锐角三角形中，设P＝a＋b＋c2，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为()A．P≥QB．P＝QC．P≤QD．不能确定解析：选C不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝a＋b＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花()A．76元B．20元C．84元D．96元解析：选A设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：322826．设正实数a1，a2，…，an的任一排列为a1′，a2′，…，an′，则a1a1′＋a2a2′＋…＋anan′的最小值为________．解析：不妨设0a1≤a2≤a3…≤an，则1a1≥1a2≥…≥1an.其反序和为a1a1＋a2a2＋…＋anan＝n，则由乱序和不小于反序和知a1a1′＋a2a2′＋…＋anan′≥a1a1＋a2a2＋…＋anan＝n，∴a1a1′＋a2a2′＋…＋anan′的最小值为n.答案：n7．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．答案：[20,30]8．设a，b，c是正实数，用排序不等式证明aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a≥b≥c0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，以上两式相加，再两边同加alga＋blgb＋clgc，整理得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥a＋b＋c3·lg(abc)，故aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，且由排序不等式知顺序和为最大值，3∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，∴三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．10．已知0a≤b≤c，求证：c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c≥a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a.证明：因为0a≤b≤c，所以0a＋b≤c＋a≤b＋c，所以1a＋b≥1c＋a≥1b＋c0，又0a2≤b2≤c2，所以c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c是顺序和，a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c≥a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a成立．4