2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十七）函数的单调性与导数（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（十七）函数的单调性与导数层级一学业水平达标1．函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C.0，1eD.1e，＋∞解析：选D由f′(x)＝lnx＋1＞0，可得x＞1e，∴函数f(x)的单调递增区间为1e，＋∞.2．已知函数f(x)＝1x－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为()A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数解析：选C因为f′(x)＝－1x2－1＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13解析：选Cy′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.4．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为()2解析：选A由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－1＜x＜3时，f′(x)＜0，所以y＝f(x)在(－1,3)上单调递减．当x＞3或x＜－1时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，故排除B、C、D，选A.5．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R解析：选Df′(x)＝3x2＋a.∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.6．函数f(x)＝cosx＋32x的单调递增区间是________．解析：因为f′(x)＝－sinx＋32＞0，所以f(x)在R上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．函数f(x)＝x＋bx(b＞0)的单调递减区间为________．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝x＋bx′＝1－bx2，令f′(x)＜0，则1x2(x＋b)(x－b)＜0，∴－b＜x＜b，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b)．答案：(－b，0)和(0，b)8．若函数y＝13ax3－12ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a的取值范围为________．解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)0，∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)0，∴a0.答案：(－∞，0)9．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.(1)求a和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间．解：(1)∵f(x)＝13x3＋ax2＋bx，3∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f－＝－4，f＝0，得1－2a＋b＝－4，1＋2a＋b＝0.解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)得f(x)＝13x3＋x2－3x.f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．由f′(x)0得x1或x－3；由f′(x)0得－3x1.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．10．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＋(2－a)＝－x＋ax－x.①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝1a，且当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．层级二应试能力达标1．函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B．(π，2π)C.3π2，5π2D．(2π，3π)解析：选By′＝cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx，用排除法知B正确．2．已知函数f(x)＝x＋1x(x＞1)，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)解析：选A因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－1x2＞0，4所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.3．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为－33，33，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：选Ay′＝a(3x2－1)＝3ax－33x＋33.当－33＜x＜33时，x－33x＋33＜0，要使y＝a(x3－x)在－33，33上单调递减，只需y′＜0，即a＞0.4．已知函数f(x)＝－2x2＋8ax＋3在(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是()A.－∞，32B.32，＋∞C.－∞，32D.32，＋∞解析：选B∵f(x)在(－∞，3]上是增函数，∴f′(x)＝－4x＋8a≥0对于x∈(－∞，3]恒成立．即a≥x2对于x∈(－∞，3]恒成立．令g(x)＝x2，x∈(－∞，3]，则a≥g(x)max.∵g(x)＝x2在(－∞，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝32，即a≥32，选B.5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.5答案：(－1，＋∞)6．若函数y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是__________.解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a0，∴a0.答案：(0，＋∞)7．设函数f(x)＝ax－ax－2lnx.(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a＋ax2－2x，且f′(2)＝0，所以a＋a4－1＝0，所以a＝45.所以f′(x)＝45＋45x2－2x＝25x2(2x2－5x＋2)．令f′(x)≥0，解得x≤12或x≥2；令f′(x)≤0，解得12≤x≤2，所以f(x)的递增区间为－∞，12和[2，＋∞)，递减区间为12，2.(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，因为f′(x)＝a＋ax2－2x＝ax2－2x＋ax2，所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，所以{a＞0，Δ＝4－4a2≤0，解得a≥1.所以a的取值范围是[1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋20.解：(1)根据题意知，f′(x)＝a－xx(x0)，当a0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)0，6当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋x－3，所以f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－lnx＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)f(1)．即f(x)－2，所以f(x)＋20.