2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十九）函数的最大（小）值与导数（含解析）新人教A版选修

1课时跟踪检测（十九）函数的最大(小)值与导数层级一学业水平达标1．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x＜0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：选Af′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2，令f′(x)＝0，得x＝－22.当x＜－22时，f′(x)＞0；当－22＜x＜0时，f′(x)＜0，∴x＝－22是函数f(x)的极大值点，也是最大值点．故f(x)有最大值，无最小值．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－16解析：选Ay′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.3．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为()A．2B．3C.174D．22＋12解析：选B由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.4．函数f(x)＝x4－4x(|x|1)()A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值2解析：选Df′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.5．函数y＝x＋2cosx在0，π2上取最大值时，x的值为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：选By′＝1－2sinx，令y′＝0，得sinx＝12，∵x∈0，π2，∴x＝π6.由y′0得sinx12，∴0≤xπ6；由y′0得sinx12，∴π6x≤π2，∴原函数在0，π6上单调递增，在π6，π2上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝π2时，y＝π2，当x＝π6时，y＝π6＋3，∵π6＋32π2，∴当x＝π6时取最大值，故应选B.6．函数f(x)＝x2－54x(x＜0)的最小值是________．解析：f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0，得x＝－3.当x＜－3时，f′(x)＜0；当－3＜x＜0时，f′(x)＞0.所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也是最小值，所以f(x)min＝27.答案：277．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，∴f(1)＝1e＞0，f(0)＝0，f(4)＝4e4＞0，3所以f(x)的最小值为0.答案：08．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：209．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求导函数f′(x)；(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.(2)由f′(－1)＝0，得k＝－12.∴f(x)＝x3－12x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝43.又f(－2)＝0，f(－1)＝92，f43＝－5027，f(2)＝0，∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，4∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由a＋b＝－2，2a＋b＝0.解得a＝2，b＝－4，∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2－2，232323，11f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f23＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.层级二应试能力达标1．函数f(x)＝xex在区间[2,4]上的最小值为()A．0B.1eC.4e4D.2e2解析：选Cf′(x)＝ex－xexx2＝1－xex，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值4e4.2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．[0,1)B．(0,1)5C．(－1,1)D.0，12解析：选B∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.3．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为()A．－10B．－71C．－15D．－22解析：选Bf′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.4．已知当x∈0，π2时，函数f(x)＝tx－sinx(t∈R)的值恒小于零，则t的取值范围是()A.－∞，2πB.－∞，π2C.2π，＋∞D.π2，＋∞解析：选Af(x)＝tx－sinx＜0在x∈0，π2内恒成立，即t＜sinxx在0，π2内恒成立．令g(x)＝sinxx，则g′(x)＝xcosx－sinxx2.令φ(x)＝xcosx－sinx，则φ′(x)＝－xsinx，当x∈0，π2时，φ′(x)＜0，∴φ(x)在0，π2上单调递减，∴φ(x)＜φ(0)＝0，∴sinx＞xcosx，∴g′(x)＜0，∴g(x)在0，π2内单调递减，∴t≤sinπ2π2＝2π.5．设函数f(x)＝12x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．6解析：f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2·x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)2e202e2∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a＝________.解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－12a＝－32舍去；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a＝－12.答案：－127．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－13x3＋x2.7(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝－2(舍去)，x2＝2，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.8．已知函数f(x)＝lnx＋ax.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．解：函数f(x)＝lnx＋ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，(1)∵a0，∴f′(x)0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a1时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1ae时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝32，得a＝e.④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是32相矛盾；8⑤当ae时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋ae2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a的值为e.