2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十二）抛物线的简单几何性质（含解析）新人教A版选修1-

1课时跟踪检测（十二）抛物线的简单几何性质层级一学业水平达标1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.2．若直线y＝2x＋p2与抛物线x2＝2py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5pB．10pC．11pD．12p解析：选B将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA―→·AF―→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)解析：选B设A(x，y)，则y2＝4x，①又OA―→＝(x，y)，AF―→＝(1－x，－y)，所以OA―→·AF―→＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213B．215C．217D．219解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由y2＝8x，y＝－2x＋2，得x2－4x＋1＝0，2∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.∴|AB|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝＋－＝5×12＝215.5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析：选D易知抛物线中p＝32，焦点F34，0，直线AB的斜率k＝33，故直线AB的方程为y＝33x－34，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－212x＋916＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝p2·sin30°＝38，所以△OAB的面积S＝12|AB|·d＝94.6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1＋x22＝3，∴y1＋y22＝x1＋x2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝x－2＋y2＝x－2＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.答案：7238．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝|AA′|＋|BB′|2＝2.又|PQ|＝y0＋18，所以y0＋18＝2，解得y0＝158.答案：1589．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点Fa2，0，直线l：x＝a2，∴A，B两点坐标分别为a2，a，a2，－a，∴|AB|＝2|a|.∵△OAB的面积为4，∴12·|a2|·2|a|＝4，∴a＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.10．已知抛物线C：y2＝2px(p0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由y＝kx＋2，y2＝8x得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.4层级二应试能力达标1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有两条C．有无穷多条D．不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.3．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B易知抛物线的焦点为Fp2，0，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得y1＋y22＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA―→·MB―→＝0，则k＝()A.12B.22C.2D．25解析：选D由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k2＋k2，x1x2＝4.①由y1＝kx1－，y2＝kx2－⇒y1＋y2＝kx1＋x2－4k，②y1y2＝k2[x1x2－x1＋x2＋4].③∵MA―→·MB―→＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故选D项．5．已知抛物线y2＝12x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a2p，则焦点弦不存在．由y2＝12x知p＝14，则通径长2p＝12，因为112，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：26．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．解析：由y2＝4x，y＝x－3消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即x＝1，y＝－2或x＝9，y＝6.所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝10＋22×8＝48.答案：487．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，12的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程；6(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝26，求实数k的值．解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝12，∴x2＋y－122＝y＋12，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋1，x2＝2y，消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·4k2＋8＝26，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.8．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|7＝m2＋1·y1＋y22－4y1y2＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝1＋1m2·y3＋y42－4y3y4＝m2＋2m2＋1m2.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝m2＋2m2＋m4.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.8