2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十二）数学归纳法（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（十二）数学归纳法1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈NB．k1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k2，k∈N＋解析：选C数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23.解析：选D当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：选A假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析：选C1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋nn＋2＝n2＋n＋22个区域．5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n个式子应为________．答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·nn＋26．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________．解析：n＝1时，左端应为1×4＝4.答案：47．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.2解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π8．用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.∴n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意整数n≥0，命题都成立．9．有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N＋)个部分．证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立．即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.∴当n＝k＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．10．试用n(n≥2，n∈N＋)表示1－141－19·1－116·…·1－1n2的值，并用数学归纳法证明．解：当n＝2时，原式＝1－14＝34；当n＝3时，原式＝1－141－19＝46；当n＝4时，原式＝1－141－191－116＝58.猜想1－141－19·…·1－1n2＝n＋12n.3下面用数学归纳法证明这个结论．(1)当n＝2时，易知结论成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时结论成立，即1－141－19·…·1－1k2＝k＋12k，则当n＝k＋1时，1－141－19·…·1－1k21－1k＋2＝k＋12k·kk＋k＋2＝k＋2k＋＝k＋＋1k＋，即当n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知对一切n∈N＋，结论都成立．4