2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十五）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式（含解

1课时跟踪检测（十五）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一学业水平达标1．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.ln33D．－ln3解析：选Cf′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln3，故f′(－1)＝ln33.2．已知f(x)＝x2·x，则f′(2)＝()A．42B．0C.2D．52解析：选D原函数化简得f(x)＝x52，所以f′(x)＝52·x32，所以f′(2)＝52×232＝52.故选D.3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A．4B．2C．16D．8解析：选A∵y′＝12x，∴切线方程为y－a＝12a(x－a)．令x＝0，得y＝a2，令y＝0，得x＝－a，2由题意知12·a2·a＝2，∴a＝4.5.曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－π4C.π4D.5π4解析：选C∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.6．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f，则m＝________.解析：∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f，得m＝－4.答案：－47．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(lnx)′＝1x，∴y′|x＝e＝1e.∴切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－ey＝0.答案：1ex－ey＝08．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．答案：(0，－a2)9．求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；3(4)y＝sinx＋π2；(5)y＝e2.解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(4x)′＝4xln4.(3)y′＝(log3x)′＝1xln3.(4)y′＝(cosx)′＝－sinx.(5)y′＝(e2)′＝0.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M12，14，与PQ平行的切线方程为：y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.层级二应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为()A.12523B.110523C.25523D.110523解析：选B∵s′＝15t－45.∴当t＝4时，s′＝15·1544＝110523.2．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋14C．ln2－1D．ln2解析：选C∵y＝lnx的导数y′＝1x，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.3．在曲线f(x)＝1x上切线的倾斜角为34π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)解析：选D因为f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－1x2＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.1nB.1n＋1C.nn＋1D．1解析：选B对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝nn＋1，∴x1·x2·…·xn＝12×23×34×…×n－1n×nn＋1＝1n＋1，故选B.5．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝1x，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－1x＝1.5解得x＝1或x＝－12，因为x＞0，所以x＝1.答案：16．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝1x，∴1x＝2，解得x＝12.∴切点的坐标为12，－ln2.故切线方程为y＋ln2＝2x－12.即2x－y－1－ln2＝0.答案：2x－y－1－ln2＝07．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，x20)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x20＝2x0(3－x0)，即x20－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝a2x′＝－a2x2.∴过点P的切线方程为y－y0＝－a2x20(x－x0)．令x＝0，得y＝2a2x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·2a2x0·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.6