2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十四）导数的几何意义（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（十四）导数的几何意义层级一学业水平达标1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在解析：选A因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＞0.2．曲线f(x)＝－2x在点M(1，－2)处的切线方程为()A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4D．y＝2x＋4解析：选CΔyΔx＝－21＋Δx＋2Δx＝21＋Δx，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．曲线y＝13x3－2在点1，－53处切线的倾斜角为()A．1B.π4C.5π4D．－π4解析：选B∵y′＝limΔx→013x＋Δx3－2－13x3－2Δx＝limΔx→0x2＋xΔx＋13x2＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.12C．－12D．－1解析：选A∵y′|x＝1＝limΔx→0a＋Δx2－a×12Δx＝2limΔx→02aΔx＋ax2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.5．过正弦曲线y＝sinx上的点π2，1的切线与y＝sinx的图象的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选D由题意，y＝f(x)＝sinx，则f′π2＝limΔx→0sinπ2＋Δx－sinπ2Δx＝limΔx→0cosΔx－1Δx.当Δx→0时，cosΔx→1，∴f′π2＝0.∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．6．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1.从而切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.答案：27．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为Δy＝－1＋Δx－1＋Δx＋2－(－1)＝Δx－11＋Δx＋1＝2Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝2Δx＋Δxx＝21＋Δx，所以f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→021＋Δx＝2，故曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋18．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，3f′(x0)＝limΔx→0x0＋Δx2－x0＋Δx－x20＋3x0Δx＝limΔx→02x0Δx－3Δx＋x2Δx＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．求过曲线f(x)＝1x－x上的点P4，－74的切线方程．解：因为f′(4)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→014＋Δx－4＋Δx－14－2Δx＝limΔx→014＋Δx－14－4＋Δx－Δx＝limΔx→0－Δx＋Δx－Δx4＋Δx＋2Δx＝limΔx→0－1＋Δx－14＋Δx＋2＝－516，所以切线的斜率为－516.所以所求的切线方程为5x＋16y＋8＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．解：由题意得f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x0＋Δx2－7－x20－Δx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．4从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.层级二应试能力达标1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)f′(xB)，选B.2．曲线f(x)＝2x－1x在x＝1处的切线的斜率为()A．－1B．1C．2D．3解析：选D因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－11＋Δx－()2×1－1＝2Δx＋1－11＋Δx＝2Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝2Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝2＋11＋Δx，所以limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02＋11＋Δx＝2＋1＝3.3．设f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f－f－2Δx2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选BlimΔx→0f－f－2Δx2Δx＝limΔx→0f－2Δx－f－2Δx＝f′(1)＝－1.54．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为()A.13B.23C．－23D．－13解析：选D由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×ab＝－1，∴ab＝－13.5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则limΔx→0f＋Δx－fΔx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知，limΔx→0f＋Δx－fΔx＝f′(1)＝kAB＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知曲线f(x)＝x，g(x)＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________．解析：由y＝xy＝1x，得x＝1，y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝x，得f′(1)＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝07．求曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：联立两曲线方程y＝1x，y＝x2，解得x＝1，y＝1，即交点坐标为(1,1)．6曲线y＝1x在点(1,1)的切线斜率为f′(1)＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1，所以曲线y＝1x在点(1,1)处的一条切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为g′(1)＝limΔx→0＋Δx2－12Δx＝limΔx→02Δx＋x2Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.所以曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示，所以S＝12×1×2－12＝34，故三角形的面积为34.8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵ΔyΔx＝x＋Δx2＋1－x2－1Δx＝2x＋Δx，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．7