2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十）一般形式的柯西不等式（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（十）一般形式的柯西不等式1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为()A．5B．－5C．25D．－25解析：选B(ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±52时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.2．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：选A(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)·(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当x1a1＝x2a2＝…＝xnan＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.3．已知x，y，z∈R＋，且1x＋2y＋3z＝1，则x＋y2＋z3的最小值是()A．5B．6C．8D．9解析：选Dx＋y2＋z3＝1x＋2y＋3z·x＋y2＋z3≥1x·x＋2y·y2＋3z·z32＝9，当且仅当1x＝2y＝3z＝13时等号成立．4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝()A.14B.13C.12D.34解析：选C由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当ax＝by＝cz＝12时取等号，因此有a＋b＋cx＋y＋z＝12.5．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，2即x2＋y2＋z2≥327.当且仅当x2＝y3＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝87，y＝127，z＝47，故所求点为87，127，47.答案：87，127，476．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)4a＋9b＋36c的最小值是________．解析：(a＋b＋c)4a＋9b＋36c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋3b2＋6c2≥a·2a＋b·3b＋c·6c2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a2＝b3＝c6＝k(k为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x，y，z满足3x＋2y＋z＝1，则x2＋2y2＋3z2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得[x2＋(2y)2＋(3z)2]·32＋22＋132≥(3x＋2y＋z)2＝1，所以x2＋2y2＋3z2≥334，当且仅当x3＝2y2＝3z13，即x＝934，y＝334，z＝134时，等号成立，所以x2＋2y2＋3z2的最小值为334.答案：3348．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋3c2)1sin2A＋1sin2B＋1sin2C≥36R2.证明：∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴(a2＋b2＋c2)1sin2A＋1sin2B＋1sin2C≥asinA＋bsinB＋csinC2＝36R2.9．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得最小值．解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9.∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥95.当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)即5x－4y＋7＝0时取等号．解方程组5x＋3y＝2，5x－4y＝－7，得x＝－1335，y＝97.故所求点的坐标为－1335，97.10．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正实数，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知1a＋12b＋13c＝1，所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.4