2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：选C双曲线方程可变形为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.x225－y225＝1B.x29－y29＝1C.y216－x216＝1D.x216－y216＝1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜2.4．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：选A椭圆4x2＋y2＝64可变形为x216＋y264＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，2∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e＝32，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝43，e′＝23，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.5．已知双曲线x2a2－y2＝1(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±35xB．y＝±53xC．y＝±34xD．y＝±43x解析：选D由双曲线方程为x2a2－y2＝1，知b2＝1，c2＝a2＋1，∴2b＝2,2c＝2a2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a＋2c＝4b＝4，∴2a＋2a2＋1＝4，解得a＝34.∴双曲线的渐近线方程为y＝±43x.6．已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a2－9b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝ca＝2.答案：27．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c＝25，由e＝ca＝52，可得a＝4，所以b＝c2－a2＝2，则双曲线的标准方程为x216－y24＝1.3答案：x216－y24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.法二：∵渐近线y＝12x过点(4,2)，而32，∴点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y24－x23＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等；(3)与椭圆x225＋y216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．4由点M(3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－140(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为e＝ca＝32，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为x225－λ－y2λ－16＝1(16λ25)．因为e＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.10．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率．解：直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.5于是有|b·0＋a·0－ab|a2＋b2＝34c，所以ab＝34c2，两边平方，得a2b2＝316c4.又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝43.又ba，所以e2＝a2＋b2a2＝1＋b2a22，则e＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二应试能力达标1．若双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为()A．y2－x2＝96B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80D．y2－x2＝24解析：选D设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52解析：选D设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－bax，所以－2＝－ba×4，即a＝2b.设b＝k(k0)，则a＝2k，c＝5k，所以e＝ca＝5k2k＝52.故选D.3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()6A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：选B设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y2＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D.5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是___________．解析：由题意，知ba≥3，则b2a2≥3，所以c2－a2≥3a2，7即c2≥4a2，所以e2＝c2a2≥4，所以e≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线x29－y216＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±43x.不妨设直线FB的方程为y＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝175，y＝－3215，所以B175，－3215.所以S△AFB＝12|AF||yB|＝12(c－a)·|yB|＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32157．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．解：(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝3.所以所求的双曲线方程为x2－y23＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立y＝x＋m，x2－y23＝1，整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝m2，y0＝x0＋m＝3m2，所以线段MN垂直平分线的方程为y－3m2＝－x－m2，即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得12|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±2，此时(*)的判别式Δ0，故直线l的方程为y＝x±2.88．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是2，求实数k的值．解：(1)由y＝kx－1，x2－y2＝1消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得1－k2≠0，Δ＝4k2＋－k2，解得－2k2且k≠±1.即k的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程①，得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，则当x1x20时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝12|x1－x2|＝2；当x1x20时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝12|x1－x2|＝2.综上可知，|x1－x2|＝22，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(22)2，即－2k1－k22＋81－k2＝8，解得k＝0或k＝±62.由(1)，可知－2k2且k≠±1，故k＝0或k＝±62都符合题意．9