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1课时跟踪训练(二十一)空间向量的坐标表示1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝________.4．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.5．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝13AB，则C点坐标为________．6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN，DCDC―→的坐标．7．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：(1)OP＝12(AB－AC)；(2)AP＝12(AB－AC)．8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?2答案1．解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．解析：由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，∴7＝2x－y，0＝－x＋4y，λ＝3x－2y，解得λ＝10.答案：104．解析：∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.答案：16－325．解析：设C点坐标(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．∵AB＝(－2，－6，－2)，∴13AB＝13(－2，－6，－2)＝－23，－2，－23，∴x－4＝－23，y－1＝－2，z－3＝－23.解得：x＝103，y＝－1，z＝73.答案：(103，－1，73)6.解：如图，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设AD＝e1，AB＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.3因为DC＝AB＝e2，MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋12PC＝－12AB＋AP＋12(PA＋AD＋DC)＝－12e2＋e3＋12(－e3＋e1＋e2)＝12e1＋12e3.所以MN＝－12，0，12，DC＝(0,1,0)．7．解：AB＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)．(1)OP＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，则点P的坐标为3，32，－2.(2)设P为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)＝12(AB－AC)＝3，32，－2，∴x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为5，12，0.8．解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0，0,3)．∵E为BC的中点，∴E(2,4,0)．∴1AB＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP＝λ1BD，则EP＝EB＋BP＝EB＋λ1BD.∵EB＝(2,0,0)，λ1BD＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴EP＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE∥A1B，得EP∥1AB，∴2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.4∴λ＝12.此时点P为BD1的中点．故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.