2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（五）量词（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(五)量词1．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形的三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号)2．下列命题中的假命题是________．①∀x∈R,2x－10；②∀x∈N*，(x－1)20；③∃x∈R，lgx1；④∃x∈R，tanx＝2.3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0：_________________________________________________；(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：________________________________.4．命题“∀x∈R＋，2x＋1x＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．5．已知“∀x∈R，ax2＋2ax＋10”为真命题，则实数a的取值范围是________．6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对任意x∈R，zx＞0(z0)；(2)对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则1x11x2；(3)∃α∈R，使得sin(α＋π3)＝sinα；(4)∃x∈R，使得x2＋1＝0.7．判断下列命题的真假，并说明理由．2(1)∀x∈R，都有x2－x＋112；(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)∃x，y∈Z，使2x＋y＝3.8．(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosxm恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosxm有解，求实数m的取值范围．答案1．解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．答案：②④①③2．解析：对②，x＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．(1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥04．解析：∵x∈R＋，∴2x＋1x≥22，∵命题为真，∴a＜22.答案：(－∞，22)5．解析：当a＝0时，不等式为10，对∀x∈R,10成立．当a≠0时，若∀x∈R，ax2＋2ax＋10，则a0，Δ＝4a2－4a0，解得0a1.综上，a的取值范围为[0,1)．答案：[0,1)6．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵zx＞0(z0)恒成立，3∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但1x11x2，∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sinα成立，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．7．解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝x－122＋34≥3412，所以该命题是真命题．法二：x2－x＋112⇔x2－x＋120，由于Δ＝1－4×12＝－10，所以不等式x2－x＋112的解集是R，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cosπ4－π2＝cos－π4＝cosπ4＝22，cosα－cosβ＝cosπ4－cosπ2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题．(4)当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，即∃x，y∈Z，使2x＋y＝3，所以该命题是真命题．8．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≥－2.又∵∀x∈R，sinx＋cosxm恒成立．∴只要m－2即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－2)．(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，又∵∃x∈R，sinx＋cosxm有解．∴只要m2即可．∴所求m的取值范围是(－∞，2)．4