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1课时跟踪训练(十一)双曲线的几何性质1．(陕西高考)双曲线x216－y2m＝1的离心率为54.则m＝________.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．3．焦点为(0,6)，且与双曲线x22－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是___________．4．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为____________________．5．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0.(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.7．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；2(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．答案1．解析：∵a＝4，b＝m，∴c2＝16＋m，e＝ca＝16＋m4＝54，∴m＝9.答案：92．解析：根据题意，由于双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知ba＝3或ba＝33，那么可知双曲线的离心率为e＝1＋ba2，所以结果为2或233.答案：2或2333．解析：由x22－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±22x.设双曲线方程为：x22－y2＝λ(λ0)，∴x22λ－y2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为y212－x224＝1.答案：y212－x224＝14．解析：∵e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝54，∴b2a2＝14，∴ba＝12，∴y＝±12x.答案：y＝±12x5．解析：依题意得|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，由此解得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即c≤2a，e＝ca≤2.又e1，∴离心率e的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，∴可设双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．3∵双曲线经过点154，3，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且OP＝6，∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.又P与两顶点连线夹角为π3，∴a＝|OP|·tanπ6＝23，∴b2＝c2－a2＝24.故所求双曲线的标准方程为x212－y224＝1.7．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y＝±b2a.由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴b2a＝2c，∴b2＝2ac.由a2＋b2＝c2，得c2－2ac－a2＝0，∴ca2－2×ca－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋2.8．解：(1)∵离心率e＝2，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6，即x26－y26＝1.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.由双曲线x2－y2＝6知，F1(23，0)，F2(－23，0)，∴MF1―→·MF2―→＝(23－3，－m)·(－23－3，－m)＝9－(23)2＋m2＝0.∴MF1―→⊥MF2―→，∴点M在以F1F2为直径的圆上．4(3)S△F1MF2＝12×2c×|m|＝c|m|＝23×3＝6.