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1课时跟踪训练(十四)圆锥曲线的统一定义1．双曲线2x2－y2＝－16的准线方程为________．2．设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．3．到直线y＝－4的距离与到A(0，－2)的距离的比值为2的点M的轨迹方程为________．4．(福建高考)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆x24＋y22＝1内部的一点为A1，13，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋2MF的最小值为________．6．已知椭圆x2100＋y236＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P到两准线的距离及点P的坐标．7．已知平面内的动点P到定直线l：x＝22的距离与点P到定点F(2，0)之比为2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？28．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，P是左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝3x，问是否存在点P，使d、PF1、PF2成等比数列？若存在，则求出P的坐标，若不存在，说明理由．答案1．解析：原方程可化为y216－x28＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝26.∴准线方程为y＝±a2c＝±1626＝±463.答案：y＝±4632．解析：PM＋PN最大值为PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值为PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．解析：设M(x，y)，由题意得|y＋4|x2＋y＋2＝2.化简得y28＋x24＝1.答案：y28＋x24＝14．解析：直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案：3－15．解析：设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知MFd＝22，右准线方程为x＝a2c＝22.∴d＝2MF.∴MA＋2MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值，∴MA＋d≥22－1.答案：22－16．解：设P(x，y)，左、右焦点分别为F1、F2.由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝ca＝45，准线方程为x＝±252.3∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.设P到两准线的距离分别为d1、d2，则由PF1d1＝PF2d2＝e＝45，得d1＝254，d2＝754.∴x＋a2c＝x＋252＝254，∴x＝－254.代入椭圆方程，得y＝±3394.∴点P的坐标为－254，3394或－254，－3394.7．解：(1)设点P(x，y)，依题意，有x－22＋y2|x－22|＝22.整理，得x24＋y22＝1.所以动点P的轨迹C的方程为x24＋y22＝1.(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，x214＋y212＝1，x224＋y222＝1.k1·k2＝y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝y21－y22x21－x22＝2－12x21－2＋12x22x21－x22＝－12，为定值．8．解：假设存在点P，设P(x，y)．∵双曲线的一条渐近线为y＝3x，∴ba＝3，b2＝3a2，c2－a2＝3a2.∴ca＝2.若d、PF1、PF2成等比数列，则PF2PF1＝PF1d＝2，PF2＝2PF1.①又∵双曲线的准线为x＝±a2c，∴PF1＝2x0＋2·a2c＝|2x0＋a|，4PF2＝2x0－2·a2c＝|2x0－a|.又∵点P是双曲线左支上的点，∴PF1＝－2x0－a，PF2＝－2x0＋a.代入①得－2x0＋a＝2(－2x0－a)，x0＝－32a.代入x2a2－y2b2＝1得y0＝±152a.∴存在点P使d、PF1、PF2成等比数列，P－32a，±152a.