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1课时跟踪训练(十)双曲线的标准方程1．双曲线x225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F1，F2分别是双曲线x216－y29＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.3．若方程x2k－3＋y2k＋3＝1(k∈R)表示双曲线，则k的范围是________．4．已知椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则实数a＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)，F2＝(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1MF·2MF＝0，|1MF|·|2MF|＝2，则该双曲线的方程是__________．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，94)；(2)过点P1(3，－42)，P2(94，5)．7．设F1，F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°.求△F1PF2的面积．8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足22sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．答案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋1114(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒12×PF2×r＝12×PF1×r－12λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝ac＝45.答案：453．解析：依题意可知：(k－3)(k＋3)0，求得－3k3.答案：－3k34．解析：由双曲线x2a－y22＝1可知a0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.答案：15．解析：∵1MF·2MF＝0，∴1MF⊥2MF.∴|1MF|2＋|2MF|2＝40.∴(|1MF|－|2MF|)2＝|1MF|2－2|1MF|·|2MF|＋|2MF|2＝40－2×2＝36.∴||1MF|－|2MF||＝6＝2a，a＝3.又c＝10，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x29－y2＝1.答案：x29－y2＝16．解：(1)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF1－PF2|3＝＋2＋94－2－－2＋94－2＝4142－942＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)，分别将点P1(3，－42)，P2(94，5)代入，得9A＋32B＝1，8116A＋25B＝1，解得A＝－19，B＝116，故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.7．解：由已知得a＝2，b＝1；c＝a2＋b2＝5，由余弦定理得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos120°即(25)2＝(PF1－PF2)2＋3PF1·PF2∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·PF2＝43.∴S△F1PF2＝12PF1·PF2·sin120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A(－22，0)，B(22，0)．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC外接圆的半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2.从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝2，c＝22，∴b2＝6.∴顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．4