2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（一）导数及其应用（含解析）苏教版选修2-2

1阶段质量检测(一)导数及其应用[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________．2．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．4．y＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.5．函数y＝sinxx的导数为________．6．若01(x－k)dx＝32，则实数k的值为________．7．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是________．8．函数f(x)＝3x－4x3在[0,1]上的最大值为________．9．(山东高考改编)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．10．若f(x)＝x2＋x，－xx，则1－1f(x)dx＝________.11．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.12．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．13．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________．14．已知f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)＞(x－1)·f(x2－1)的解集是________________________________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－43ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.2(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．16．(本小题满分14分)求下列定积分．(1)12－(1－t3)dt；(2)1－(cosx＋ex)dx；(3)12x3－3x2＋5x2dx.17．(本小题满分14分)已知x＝1是函数f(x)＝13ax3－32x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e≈2.71，a∈R)．(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈1e，e时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．319．(本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x)2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值．20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．答案1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a，又∵f′(1)＝2，∴a＝1.答案：12．解析：∵y′＝3x2－4，∴当x＝1时，y′＝－1，即tanα＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π43．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3，所以实数a的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．解析：y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，令y′＝0，则x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝a，当x＝1时，y＝a－1.由题意知a＝6.答案：65．解析：y′＝sinxx′＝xx－xxx2＝xcosx－sinxx2.答案：xcosx－sinxx26．解析：01(x－k)dx＝12x2－kx10＝12－k＝32，解得k＝－1.答案：－17．解析：∵f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x.令f′(x)0，因为x∈(0，＋∞)，∴2x2－10，即0x22，∴函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是0，22.答案：0，228．解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－12(舍去)或x＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f12＝32－12＝1.∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.答案：19．解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为02x－x3x＝2x2－14x420＝4.答案：410．解析：因为-12f(x)dx＝-10(－x)dx＋01(x2＋3)dx.因为－12x2′＝－x，513x3＋3x′＝x2＋3，所以-11f(x)dx＝－12x201＋13x3＋3x10＝236.答案：23611．解析：由于y′|x＝1＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝nn＋1，∴an＝lgnn＋1，∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2.答案：－212．解析：∵f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，x0，∴当0x12时，f′(x)0，f(x)为减函数，当x12时，f′(x)0，f(x)为增函数，依题意得0≤k－112，12k＋1，k－1k＋1.∴1≤k32.答案：1，3213．解析：设矩形一边长为xcm，则邻边长为(10－x)cm；体积V＝πx2(10－x)＝π(10x2－x3)，由V′＝π(20x－3x2)＝0得x＝0(舍去)，x＝203可以判断x＝203时，Vmax＝400027π(cm3)．答案：400027πcm314．解析：令g(x)＝x·f(x)则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0.∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数．又∵f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)，∴(x＋1)f(x＋1)＞(x2－1)f(x2－1)，∴x＋1＞0，x2－1＞0，x＋1＜x2－1⇒x＞－1，x＜－1或x＞1，x＜－1或x＞2.∴x＞2.答案：{x|x＞2}15．解：(1)f′(x)＝2ax－43a，6由已知得f＝2a－43a＝1，f＝a－43a＋b＝2，解得a＝32，b＝52.所以f(x)＝32x2－2x＋52.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.16．解：(1)∵t－14t4′＝1－t3，∴-21(1－t3)dt＝t－14t412＝1－14－(－2－4)＝274.(2)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，∴-π0(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)0＝1－e－π＝1－1eπ.(3)24x3－3x2＋5x2dx＝24x－3＋5x2dx取F(x)＝12x2－3x－5x，则F′(x)＝x－3＋5x2，24x3－3x2＋5x2dx＝F(4)－F(2)＝12×42－3×4－54－12×22－3×2－52＝54.17．解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由f′(1)＝0得a＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝13x3－32x2＋2x＋5.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，即13x3－32x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，令g(x)＝13x3－32x2＋2x＋5－2x－m＝13x3－32x2＋5－m，则g(x)有三个零点．由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.令g′(x)0得x0或x3；令g′(x)0得0x3.∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．∴函数在x＝0处取得极大值，在x＝3处取得极小值．要使g(x)有三个零点，只需g，g，解得12m5.∴实数m的取值范围为12，5.18．解：(1)f′(x)＝lnx＋1，所以斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.由y＝－x2＋ax－2y＝x－1⇒x2＋(17－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3可知：当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xlnx，由y＝0得a＝x＋2x＋lnx．令h(x)＝x＋2x＋lnx，则h′(x)＝x－x＋x2.当x∈1e，e，由h′(x)＝0得x＝1.所以h(x)在1e，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故hmin(x)＝h(1)＝3.由h1e＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知h1e＞h(e)．所以，当3＜a≤e＋2e＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．19．解：(1)L(x)＝(x－a)(12－x)2(7≤x≤10)．(2)L′(x)＝(12－x)2＋(x－a)(2x－24)＝(12－x)(12＋2a－3x)．令L′(x)＝0得x＝2a＋123或x＝12.由a∈[3,6]得2a＋123∈[6,8]．当2a＋123∈[6,7]，即3≤a≤92时，L(x)在[7,10]上是减函数，L(x)的最大值为L(7)＝25(7－a)；当2a＋123∈(7,8]，即92a≤6时，L(x)在7，2a＋123上是增函数，在[2a＋123，10]上是减函数．L(x)的最大值为L2a＋123＝－a327综上可知，若3≤a≤92，则当x＝7时，L(x)取得最大值，最大值是25(7－a)；若92a≤6，则当x＝2a＋123时，L(x)取得最大值，最大值是－a327.20．解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)．此时f′(x)＝2x＋2.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2x＋2＝ax2＋a＋x＋axx＋2.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12x－2xx＋2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．8②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a＜0，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－a＋＋2a＋1a，x2＝－a＋－2a＋1a.由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，综上