2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（一）（含解析）新人教A版选修4-4

1阶段质量检测（一）(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线解析：选C因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π，ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线，所以C选项正确．2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos2θ，给定两点P0，π2，Q()2，π，则有()A．P在曲线C上，Q不在曲线C上B．P，Q都不在曲线C上C．P不在曲线C上，Q在曲线C上D．P，Q都在曲线C上解析：选C当θ＝π2时，ρ＝2cosπ＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos2π＝2，故点Q在曲线上．3．空间直角坐标系中的点(2，2，1)关于z轴对称的点的柱坐标为()A.2，π4，1B.22，π4，1C.2，5π4，1D.22，5π4，1解析：选C空间直角坐标系中的点(2，2，1)关于z轴对称的点的坐标为M(－2，－2，1)．设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)(ρ≥0,0≤θ2π，z∈R)，则ρ＝－22＋－22＝2，∵tanθ＝－2－2＝1，又x0，y0，∴tanθ＝5π4，∴M的柱坐标为2，5π4，1.4．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin3x变为曲线y＝sinx的伸缩变换是()A.x＝3x′y＝12y′B.x′＝3xy′＝12y2C.x＝3x′y＝2y′D.x′＝3xy′＝2y解析：选B将x′＝λx，y′＝μy代入y＝sinx，得μy＝sinλx，即y＝1μsinλx，与y＝2sin3x比较，得λ＝3，μ＝12，即变换公式为x′＝3x，y′＝12y.5．极坐标方程ρ＝2cosθ－4sinθ对应的直角坐标方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y－2)2＝5C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋1)2＋(y＋2)＝5解析：选Aρ＝2cosθ－4sinθ即ρ2＝2ρcosθ－4ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，即x2＋y2－2x＋4y＝0，也即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，故选A.6．已知点M的极坐标为－5，π3，下列给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()A.5，－π3B.5，4π3C.5，－2π3D.－5，－5π3解析：选A因为－π3≠(2n＋1)π＋π3(n∈Z)．所以点A不能表示点M.因为4π3＝π＋π3，－2π3＝－π＋π3，－5π3＝－2π＋π3.所以B，C，D都能表示点M.7．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝12的图形是()3解析：选B把ρcosθ＝12化为直角坐标方程，得x＝12，把ρ＝cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2－x＝0，即其圆心为12，0，半径为12，故选项B正确．8．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4解析：选B如图所示，CO⊥Ox，OA为⊙C的直径，且|OA|＝4，l和圆C相切，且l交极轴于点B(2,0)，设点P(ρ，θ)为l上任意一点，则有cosθ＝2ρ，即ρcosθ＝2，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝2.9．在极坐标系中，点2，5π6到直线ρsinθ－π3＝4的距离为()A．1B．2C．3D．4解析：选B点2，5π6的直角坐标为2cos5π6，2sin5π6，即(－3，1)，因为ρsinθ－π3＝ρ12sinθ－32cosθ＝12y－32x＝4，所以直线的普通方程为3x－y＋8＝0，由点到直线的距离公式得d＝|－3－1＋8|3＋1＝2，故选B.10．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值为()A．－4B．－7C．1D．6解析：选Dρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝8y，x2＋(y－4)2＝16.可得圆心为C(0,4)，半径r＝4.直线θ＝π3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝3x.圆心C到直线的距离d＝432＋－2＝2，因此圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值为2＋4＝6.4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.答案：2312．已知点A的直角坐标为332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r＝3322＋922＋32＝6，cosφ＝36＝12，∴φ＝π3.∵tanθ＝92332＝3，x0，y0，∴θ＝π3.∴它的球坐标为6，π3，π3.答案：6，π3，π313．在极坐标系中，点A2，π2关于直线l：ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边OBA′A是正方形，∠BOA′＝π4，且OA′＝22，故A′的极坐标是22，π4.答案：22，π414．从极点作圆ρ＝2acosθ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以a2，0为圆心，a2为半径的圆，求得方程是ρ＝acosθ－π2≤θ≤π2.答案：ρ＝acosθ－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)515．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：∵点P2，π4，∴x＝2cosπ4＝1，y＝2sinπ4＝1，∴点P的直角坐标为(1,1)．∵ρsinθ－π3＝－32展开得12ρsinθ－32ρcosθ＝－32，∴y－3x＝－3，令y＝0，得x＝1，∴直线与x轴的交点坐标为C(1,0)．∴圆C的半径r＝|PC|＝－2＋－2＝1.∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.16．(本小题满分12分)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4，x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知A2，π4，B2，5π4为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．解：法一：对于点A2，π4有ρ＝2，θ＝π4，所以x＝ρcosθ＝2cosπ4＝2，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝2，所以点A的直角坐标为(2，2)．对于B2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，6所以x＝2cos5π4＝－2，y＝2sin5π4＝－2.所以点B的直角坐标为(－2，－2)．设点C的直角坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故有|BC|＝|AC|＝|AB|.所以(x＋2)2＋(y＋2)2＝(x－2)2＋(y－2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即x－22＋y－22＝16，x＋22＋y＋22＝16，所以x2＋y2－22x－22y－12＝0，①x2＋y2＋22x＋22y－12＝0.②②－①得y＝－x.③将③代入①，并化简得x2＝6，即x＝±6，所以x＝6，y＝－6或x＝－6，y＝6.所以点C的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)．所以ρ＝6＋6＝23，tanθ＝－1，所以θ＝3π4或θ＝7π4.所以点C的极坐标为23，3π4或23，7π4.法二：设点C的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ2π，ρ0)．因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.由余弦定理得ρ2＋22－2×2ρcosθ－π4＝42，ρ2＋22－2×2ρcosθ－5π4＝42，即ρ2－4ρcosθ－π4－12＝0，①ρ2＋4ρcosθ－π4－12＝0，②①＋②并化简得ρ2＝12(ρ0)，解得ρ＝23，将ρ＝23代入①得cosθ－π4＝0，所以θ－π4＝π2＋kπ，k∈Z，所以θ＝3π4＋kπ，k∈Z.7因为0≤θ2π，所以θ＝3π4或7π4，所以点C的极坐标为23，3π4或23，7π4.18．(本小题满分14分)在极坐标系中，已知圆C的圆心为3，π3，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ―→＝2QP―→，求动点P的轨迹方程．解：(1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一外，在△OCM中，∠COM＝θ－π3，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos∠COM，所以32＝ρ2＋32－2×ρ×3cosθ－π3，即ρ＝6cosθ－π3.经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上．所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ－π3.(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，由OQ―→＝2QP―→，得OQ―→＝2(OP―→－OQ―→)，所以OQ―→＝23OP―→，所以ρ1＝23ρ0，θ1＝θ0，将其代入圆ρ1＝6cosθ1－π3，得23ρ0＝6cosθ0－π3，即ρ0＝9cosθ0－π3.所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cosθ－π3.