2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（三）导数及其应用（含解析）新人教A版选修1-1

1阶段质量检测（三）导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于()A．sinxB．cosxC．cosα＋sinxD．2sinα＋cosx解析：选A函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为()A．y＝－3x＋3B．y＝－3x＋1C．y＝－3D．x＝2解析：选C因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y＝－3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．4．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是()A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，22解析：选A∵f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，2故f(x)的单调递减区间为0，22.5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是()A．1B.12C．0D．－1解析：选Af′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－12(舍去)或x＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：选Df′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.7．已知物体的运动方程是S(t)＝t2＋1t(t的单位：s，S的单位：m)，则物体在时刻t＝2时的速度v与加速度a分别为()A.154m/s，94m/s2B.152m/s，92m/s2C.92m/s，154m/s2D.94m/s，154m/s2解析：选AS′(t)＝2t－1t2，∴v＝S′(2)＝2×2－14＝154(m/s)．令g(t)＝S′(t)＝2t－1t2，∴g′(t)＝2＋2t－3，∴a＝g′(2)＝94(m/s2)．8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()3解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0xx1时，f′(x)0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则满足2f(x)x＋1的x的集合为()A．{x|－1x1}B．{x|x1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}解析：选B令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)12，∴g′(x)＝2f′(x)－10，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x1时，g(x)0，即2f(x)x＋1，故选B.10．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台解析：选A设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．11．若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在13，＋∞上是增函数，则实数a的取值范围是()A．[－1,0]B.0，253C.253，＋∞D．[9，＋∞)解析：选C∵f(x)＝x2＋ax＋1x在13，＋∞上是增函数，∴f′(x)＝2x＋a－1x2≥0在13，＋∞上恒成立，∵f′(x)＝2x＋a－1x2在13，＋∞上递增，∴f′13＝23－9＋a≥0，∴a≥253.故选C.412．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x＜f(x)，且f(2)＝0，则fxx＞0的解集为()A．(0,2)B．(0,2)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．∅解析：选A∵fxx′＝fxx－fxx2＜0，∴fxx在(0，＋∞)上为减函数．又∵f(2)＝0，∴f2＝0.∴fxx＞0的解集为0＜x＜2，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若f(x)＝13x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为__________．解析：y′＝12x－1＝1－2x2x，令y′＝0得x＝14.∵0＜x＜14时，y′＞0；x＞14时，y′＜0.∴x＝14时，ymax＝14－14＝14.答案：1415．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈－π2，π2时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在－π2，π2上是增函数，∵π2π－21π－30，∴f(π－2)f(1)f(π－3)，即cab.5答案：cab16．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x2x2＋2，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)．又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，所以m≥－1，m＜2m＋1，2m＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax(a0)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤12恒6成立，求实数a的最小值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋1x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1x2＝x－1x2，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝x－ax2(0x≤3)，则k＝f′(x0)＝x0－ax20≤12(0x0≤3)恒成立，即a≥－12x20＋x0max.当x0＝1时，－12x20＋x0取得最大值12，所以a≥12，所以a的最小值为12.19．(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C＝25000＋200x＋140x2(单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝25000＋200x＋140x2x＝25000x＋200＋x40，y′＝－25000x2＋140，令y′＝0，得x＝1000或x＝－1000(舍去)．当在x＝1000附近左侧时y′＜0，当在x＝1000附近右侧时y′＞0，故当x＝1000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数L＝500x－25000＋200x＋x240＝300x－25000－x240.7L′＝300－x20，令L′＝0，解得x＝6000.当在x＝6000附近左侧时L′＞0，当在x＝6000附近右侧时L′＜0，故当x＝6000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－k2x2－x.(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.(2)若k＝1，则f(x)＝ex－12x2－x，定义域为R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g′(x)0得x0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.∴f(x)在R上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2－alnx(x∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x＞1时，12x2＋lnx＜23x3是否恒成立，并说明理由．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝x－ax(x＞0)，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，8∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝x－ax＋ax，∴当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.∴当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)当x＞1时，12x2＋lnx＜23x3恒成立，理由如下：设g(x)＝23x3－12x2－lnx(x＞1)，则g′(x)＝2x2－x－1x＝x－x2＋x＋x＞0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴g(x)＞g(1)＝16＞0.即23x3－12x2－lnx＞0，∴12x2＋lnx＜23x3，故当x＞1时，12x2＋lnx＜23x3恒成立．22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝3ax2－b.由题意知f＝0，f＝－43，即12a－b＝0，8a－2b＋4＝－43