2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程（含解析）新人教A版选修1-1

1阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59解析：选B根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝a2－b2＝5，∴椭圆的离心率e＝ca＝53.2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：选C由于θ∈R，对sinθ的值举例代入判断．sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()A.x24＋y23＝1B.x23＋y2＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y2＝1解析：选A∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝3.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x2解析：选C∵e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝54，∴b2a2＝14，∴ba＝12，则C的渐近线方程为y＝±12x.5．设P是双曲线x2a2－y29＝1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．8解析：选C双曲线x2a2－y29＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.6．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线y＝kx－k恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．7．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在双曲线上，则PF1―→·PF2―→＝()A．－12B．－2C．0D．4解析：选C由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(3，1)或P(3，－1)．不妨取点P(3，1)，则PF1―→＝(－2－3，－1)，PF2―→＝(2－3，－1)．∴PF1―→·PF2―→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)3＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.8．设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.62，2B．(2，＋∞)C.62，＋∞D.62，2∪(2，＋∞)解析：选D由x2a2－y2＝1，x＋y＝1消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0⇒a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)0⇒a22，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝1a2＋1，则a2＝1e2－1，从而e∈62，2∪(2，＋∞)．9．已知|AB―→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，OP―→＝13OA―→＋23OB―→，则动点P的轨迹方程是()A.x24＋y2＝1B．x2＋y24＝1C.x29＋y2＝1D．x2＋y29＝1解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝13(0，y0)＋23(x0,0)，即x＝23x0，y＝13y0，所以x0＝32x，y0＝3y.因为|AB―→|＝3，所以x20＋y20＝9，即32x2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是x24＋y2＝1.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的4直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y解析：选C如果设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝452，所以所求抛物线方程为y2＝452x.虽然选项中没有y2＝452x，但C中的2p＝452符合题意．11.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选A设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，则BF―→＝(－c，－b)，BA―→＝(a，－b)．∵离心率e＝ca＝5－12，∴c＝5－12a，b＝a2－c2＝a2－5－12a2＝5－12a，∴BF―→·BA―→＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.12．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223解析：选D将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，5设A(x1，y1),B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－4k2k2，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x22＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，8－4k2k2＝5，解得k2＝89，又因为k0，所以k＝223.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．以双曲线x24－y212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x216＋y212＝114．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线x＝14y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线x＝14y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝ca＝5，易求得a2＝15，b2＝45，所以该双曲线的方程为5x2－54y2＝1.答案：5x2－54y2＝115．已知二次曲线x24＋y2m＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x24－y2－m＝1，曲线为双曲线，6∴e＝4－m2.∵m∈[－2，－1]，∴52≤e≤62.答案：52，6216．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋－2＋42＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，∵点P32，6在抛物线上，∴6＝2p×32.∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点P32，6在双曲线上，∴94a2－6b2＝1，解方程组a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得a2＝14，b2＝34或a2＝9，b2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－43y2＝1.718．(本小题满分12分)已知椭圆x24＋y29＝1及直线l：y＝32x＋m，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由y＝32x＋m，x24＋y29＝1，消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．∵直线l与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－32≤m≤32.故所求实数m的取值范围为[－32，32]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－6m9，x1x2＝2m2－189，故|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋322·－6m92－4×2m2－189＝133·－m2＋18，当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分12分)双曲线x2－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝3，若直线l的斜率存在，且(F1A―→＋F1B―→)·AB―→＝0，求l的斜率．解：(1)设A(xA，yA)．由题意得F2(c,0)，c＝1＋b2，y2A＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)由题意知F1(－2,0)，F2(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.8由x2－y23＝1，y＝kx－得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(F1A―→F1A―→＋F1B―→)·AB―→＝0即F1M―→·AB―→＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1.而xM＝x1＋x22＝2k2k2－3，yM＝k(xM－2)＝6kk2－3，kF1M＝3k2k2－3，所以3k2k2－3·k＝－1，解得k2＝35，故l的斜率为±155.20．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x2＝4y，当直线l2的斜率为0时，|PQ|＝42.当直线l2的斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x21＝4y1，x22＝4y2，两式作差得x21－x22＝4(y1－y2)，即得k＝x1＋x24＝t2，则直线方程为y－2＝t2(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，则|PQ|＝