2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程（含解析）苏教版选修2-1

1阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________________________．2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．3．方程x2a－2＋y2a2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是_____________．4．(辽宁高考)已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．5．设点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与圆x2＋y2＝2a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C1＝x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．8．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝8，则P1P2的值为________．9．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y＝33x的距离是________．10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F2的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________________________．12．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于__________________________．13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e＝53；③抛物线x＝2y2的准线的方程是x＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y＝±57x.其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．17.(本小题满分14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的3另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E：x2＝2py(p0)的焦点F作斜率分别为4k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：FM·FN2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程．答案1．解析：令x216－y29＝0，解得y＝±34x.答案：y＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意得a－2a2，a≠1，a≠0，解之得a12，且a≠0，即a的取值范围是(－∞，0)∪0，12.答案：－∞，∪，124．解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.答案：4455．解析：由PF1－PF2＝2a，PF1＝3PF2得PF1＝3a，PF2＝a，设∠F1OP＝α，则∠POF2＝180°－α，在△PF1O中，PF21＝OF21＋OP2－2OF1·OP·cosα①，在△OPF2中，PF22＝OF22＋OP2－2OF2·OP·cos(180°－α)②，由cos(180°－α)＝－cosα与OP＝2a，①＋②得c2＝3a2，∴e＝ca＝3aa＝3.答案：36．解析：设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即x＋2＋y2＝2－x.∴y2＝－8x.答案：y2＝－8x7．解析：∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的率心率为2.∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a.∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.∴抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2.∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：x2＝16y8．解析：由题意知p＝4，由抛物线的定义得P1P2＝P1F＋P2F＝y1＋p2＋y2＋p2＝(y1＋y2)＋p＝8＋4＝12.答案：129．解析：∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x－3y＝0的距离d＝33＋9＝12.答案：1210．解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×45＝636，则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a⇒a＝7，则e＝ca＝57.答案：5711．解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程为x218＋y29＝1.答案：x218＋y29＝112．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由y＝2x＋1，y2＝12x，得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝14，∴AB＝＋22x1－x22＝x1＋x22－4x1x2]＝15.答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦半径为c.由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝3c.∴AF1＋AF2＝2a＝(3＋1)c.∴e＝ca＝23＋1＝3－1.答案：3－114．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e＝33；7④渐近线的方程为y＝±75x.答案：①②④15．解：椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，又双曲线过点(0,2)，∴c＝5，a＝2，∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e＝ca＝52，渐近线方程是y＝±22121x.16．解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|＝4，不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k≠0，则x1＋x2＝2k2＋4k2.由抛物线定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，∴x1＋x2＋2＝8，即2k2＋4k2＋2＝8.解得k＝±1.所以直线l的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)．代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c.所以|AB|＝1＋3·|85c－0|＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b8＝53.法二：设AB＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t.由余弦定理得(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.18．解：(1)由题意得b＝1，a＝2.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以AB＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0，x2＋4y2＝4，消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－8k4＋k2，y0＝84＋k2－1.所以PD＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12AB·PD＝84k2＋34＋k2，所以S＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.19．解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意d＝2|MN|.9由此得|4－x|＝2x－2＋y2，化简得x24＋y23＝1，所以，动点M的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋3代入x24＋y23＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，故k232.由根与系数的关系得，x1＋x2＝－24k3＋4k2，①x1x2＝243＋4k2.②又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③将③代入①，②，得x1＝－8k3＋4k2，x21＝123＋