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1阶段质量检测（二）(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为x＝2t，y＝t(t为参数)，则下列点中在曲线上的是()A．(1,1)B．(2,2)C．(0,0)D．(1,2)解析：选C当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．2．直线x＋y＝0被圆x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)截得的弦长是()A．3B．6C．23D.3解析：选B圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.3．当参数θ变化时，动点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线必过()A．点(2,3)B．点(2,0)C．点(1,3)D．点0，π2解析：选B令x＝2cosθ，y＝3sinθ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：x24＋y29＝1，∴曲线过点(2,0)．4．若曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ参数θ∈－π2，π2，则曲线C()A．表示直线B．表示线段C．表示圆D．表示半个圆解析：选D由x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ，得cosθ＝x2，sinθ＝12y－，∴x24＋14(y－1)2＝1，整理得x2＋(y－1)2＝4，由θ∈－π2，π2得0≤x2≤1，－1≤12(y－1)≤1，∴0≤x≤2，－1≤y≤3，2∴曲线C表示半个圆，故选D.5．将曲线的参数方程x＝4t＋1t，y＝4t－1t(t为参数)化为普通方程为()A．x2＋y2＝16B．x2＋y2＝16(x≥4)C．x2－y2＝16D．x2－y2＝16(x≥4)解析：选D在x＝4t＋1t，y＝4t－1t(t为参数)中，分别将x及y平方作差，得x2－y2＝4t＋1t2－4t－1t2＝16t＋8t×1t＋1t－16t－8t×1t＋1t＝16，由x＝4t＋1t≥24t×1t＝4，得x≥4，故曲线的参数方程化成普通方程为x2－y2＝16(x≥4)．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22解析：选D由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，直线l被圆C截得的弦长为222－22＝22.7．若x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，则点(x，y)的轨迹是()A．直线x＋2y＝0B．以(2,0)为端点的射线C．圆(x－1)2＋y2＝1D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D∵x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，3∴x＝2cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，消去参数θ，得x＝2(1－y)，即x＋2y－2＝0，由x＝2cos2θ得0≤x≤2，∴点(x，y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．8．参数方程x＝t－1，y＝t＋2(t为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为()A．(1,0)，(0，－2)B．(－1,0)，(0,1)C．(0，－1)，(1,0)D．(－3,0)，(0,3)解析：选D参数方程x＝t－1，y＝t＋2(t为参数)消去参数t，得x－y＋3＝0，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝－3.∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．9．已知圆的渐开线x＝rφ＋φsinφ，y＝rφ－φcosφ(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A．πB．3πC．6πD．9π解析：选D把已知点(3,0)代入参数方程得3＝rφ＋φsinφ，①0＝rφ－φcosφ，②由②得φ＝tanφ，所以φ＝0，代入①得，3＝r·(cos0＋0)，所以r＝3，所以基圆的面积为9π.10．已知点(x，y)满足曲线方程x＝4＋2cosθ，y＝6＋2sinθ(θ为参数)，则yx的最小值是()A.32B.32C.3D．1解析：选D曲线方程x＝4＋2cosθ，y＝6＋2sinθ(θ为参数)化为普通方程得(x－4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C(4,6)为圆心，以2为半径的圆，4∴yx表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，yx取最小值，设过原点的切线方程为y＝kx，则圆心C(4,6)到切线y＝kx的距离d＝|4k－6|k2＋1＝2，即7k2－24k＋17＝0，解得k＝1或k＝177，∴yx的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．双曲线x＝tanθ，y＝2secθ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y24－x2＝1，由y24－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．答案：y＝±2x12．若直线l的参数方程为x＝4－4t，y＝－2＋3t(t∈R，t为参数)，则直线l在y轴上的截距是________．解析：令x＝0，可得t＝1，y＝1，∴直线l在y轴上的截距是1.答案：113．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋32t，y＝12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为________．解析：直线l的参数方程x＝－1＋32t，y＝12t(t为参数)化成普通方程为x－3y＋1＝0，ρ＝－4cosθ即ρ2＝－4ρcosθ，即x2＋y2＋4x＝0，也即(x＋2)2＋y2＝4，表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为|－2＋1|1＋3＝12.5答案：1214．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t－2，y＝3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0，设点P是曲线C上的一个动点，则P到直线l的距离d的取值范围是________．解析：x＝t－2，y＝3t(t为参数)，消去t，得直线l的普通方程为3x－y＋23＝0.由曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0得曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝1.设点P(2＋cosθ，sinθ)(θ∈R)，则d＝|3＋cosθ－sinθ＋23|2＝2cosθ＋π6＋432，因为θ∈R，所以d的取值范围是[23－1,23＋1]．答案：[23－1,23＋1]三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.所以实数a的取值范围为[－25，25]．16．(本小题满分12分)已知直线的参数方程为x＝－1＋3t，y＝2－4t(t为参数)，它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．(1)求AB的长；(2)求点P(－1,2)到线段AB的中点C的距离．6解：(1)把直线的参数方程x＝－1＋3t，y＝2－4t(t为参数)代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－67，t1t2＝－27.|AB|＝32＋－2|t1－t2|＝5t1＋t22－4t1t2＝10237.(2)根据中点坐标的性质可得AB的中点C对应的参数为t1＋t22＝－37.所以点P(－1,2)到线段AB的中点C的距离为32＋－2·－37＝157.17．(本小题满分12分)设直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l经过定点P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝52.(2)由圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，由直线l的参数方程x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，因为直线l与圆C交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k|k2＋12，解得k2120.所以直线l的斜率的取值范围为2120，＋∞.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π3＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.7(2)设P(ρ1，θ1)，则由ρ1＝2cosθ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.2ρsinθ＋π3＝33，即ρ(sinθ＋3cosθ)＝33.设Q(ρ2，θ2)，则由ρ2θ2＋3cosθ2＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.又θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2.