2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（五）数系的扩充与复数的引入（含解析）北师大版选修2-2

1阶段质量检测（五）数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i是虚数单位，复数7－i3＋i＝()A．2＋iB．2－iC．－2＋iD．－2－i解析：选B7－i3＋i＝－－10＝20－10i10＝2－i.2．已知复数z＝－i3－1＋2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B.第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C因为z＝i－3－4i＝－3＋－3－－3＋＝－4－3i25＝－425－325i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.3．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i解析：选D因为(z－3)(2－i)＝5，所以z－3＝52－i＝＋－＋＝2＋i，所以z＝5＋i，所以z＝5－i.4．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则2－zz等于()A．－1－2iB．－2＋iC．－1＋2iD．1＋2i解析：选C由题意可得2－zz＝2－－1＋－1－i＝－－1＋－1－－1＋＝－1＋2i，故选C.5．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1B.7或－7C．－3D.32解析：选A法一：由题意可知z＝a－3i，∴z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.6．已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则|z1|＝()A.2B.3C．2D.5解析：选D由于z1z2＝2＋ai1－2i＝＋a＋－＋＝2－2a＋＋a5为纯虚数，则a＝1，则|z1|＝5，故选D.7．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为()A．1B．－1C．1或－1D．±1或0解析：选C因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1，故选C.8．已知复数z＝－12＋32i，则z＋|z|＝()A．－12－32iB．－12＋32iC.12＋32iD.12－32i解析：选D因为z＝－12＋32i，所以z＋|z|＝－12－32i＋－122＋(32)2＝12－32i.9．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数解析：选C∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称．∴C项正确．310．复数2＋i与复数13＋i在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B∵13＋i＝3－i＋－＝310－i10，∴它在复平面上的对应点为B310，－110，而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，显然AO＝5，BO＝1010，AB＝41010.由余弦定理得cos∠AOB＝AO2＋BO2－AB22AO·BO＝22，∴∠AOB＝π4.故选B.11．已知z是复数z的共轭复数，z＋z＋z·z＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选A设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，代入z＋z＋z·z＝0，得x＋yi＋x－yi＋x2＋y2＝0，即x2＋y2＋2x＝0，整理得(x＋1)2＋y2＝1.∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．12．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是()A.32B.33C.12D.3解析：选D因为|(x－2)＋yi|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点4(x，y)在以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤yx≤3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．计算：2－i31－2i＝________.解析：2－i31－2i＝2＋i1－2i＝2＋＋2－2＋2＝2＋2i＋i＋2i21－22＝3i3＝i.答案：i14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.答案：－215．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：∵|a＋bi|＝a2＋b2＝3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：316．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即x2＋2x－2b＝0，－x－4＝0，解得x＝－4，b＝4，故m＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝15－5i＋2，求：(1)z1z2；(2)z1z2.解：因为z2＝15－5i＋2＝15－5i3＋4i＝－－＋－＝25－75i25＝1－3i，所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z1z2＝2－3i1－3i＝－＋－＋＝11＋3i10＝1110＋310i.18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？5(1)z是实数.(2)z是纯虚数．(3)z对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．19．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i.(1)求复数z；(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：(1)∵(1＋2i)z＝4＋3i，∴z＝4＋3i1＋2i＝＋－＋－＝10－5i5＝2－i，∴z＝2＋i.(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴4－a＋20，a＋，解得－1a1，即实数a的取值范围为(－1,1)．20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－z2||z1|，求a的取值范围．解：因为z1＝－1＋5i1＋i＝2＋3i，z2＝a－2－i，z2＝a－2＋i，所以|z1－z2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝－a2＋4，又因为|z1|＝13，|z1－z2||z1|，所以－a2＋413，所以a2－8a＋70，解得1a7.所以a的取值范围是(1,7)．21．(本小题满分12分)设z为复数z的共轭复数，满足|z－z|＝23.6(1)若z为纯虚数，求z.(2)若z－z2为实数，求|z|.解：(1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则z＝－bi，因为|z－z|＝23，则|2bi|＝23，即|b|＝3，所以b＝±3，所以z＝±3i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，因为|z－z|＝23，则|2bi|＝23，即|b|＝3，因为z－z2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.z－z2为实数，所以b＋2ab＝0.因为|b|＝3，所以a＝－12，所以|z|＝－122＋32＝132.22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.7