第7章-非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)讲解

第七章非线性控制系统分析7-1非线性控制系统概述以前讨论的自动控制理论,都是针对线性控制系统的所以也叫线性自动控制理论.所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线性化,则也可当作线性环节处理.但如此处理后,应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论对系统进行分析和设计.在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性,因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.在某些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高.在系统中,只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线性系统,如下图所示.)(te)(tu00u0u)(te)(tr)(tu)(tc)(sG上图中,大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,)(sG表示非线性系统中线性部分的传递函数.非线性的特性是各种各样的,教材图及表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.7-2非线性控制系统的特征非线性控制系统有如下两个基本特征:(1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程(2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法,只能具体问题具体对待.本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下,将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的,因此具有一定的局限性.7-3相平面法1.相平面法的基本概念所谓相平面法,是一种二阶微分方程的图解法.此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统.设一二阶系统可用下面常微分方程描述:)1(),(xxfx上面微分方程的解可用)(tx对t的关系曲线表示,也可用)(tx与)(tx的关系曲线表示,当用后一种关系曲线时,是把曲线画在xx的直角坐标平面上,而t作为参变量在xx平面上并不出现.设下图为式(1)在初始条件情况下的00,xxxx)(tx与)(tx的关系曲线.xx0),(00xxA当),0[t时,平面上的点随时间的增大,将沿曲线移动.当初始条件确定后,曲线也确定,则曲线上任何一点的坐标也确定.当xx,的值确定后,由式(1)可知),(xxfx的值也唯一确定,从而系统的整个运动状态也完全确定.整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动性质.上图中的平面叫相平面,曲线叫系统在某一初始条件下的相轨迹.由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条,这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图.因为)2(),(//xxxfxxdtdxdtxddxxd所以,当确定后,xx,dxxd/也唯一确定.而dxxd/是相轨迹在),(xx处的曲线斜率,由于每一点上的斜率确定,所每一点上只能通过一条相轨迹,这说明由不同初始条件出发的相轨迹曲线互不相交.如果在相平面上某些点的0/0/dxxd,即曲线在这一点上的斜率不定,可有无穷多条相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点,或叫奇点.在相平面的上方(如下图)xx0),(00xxA,由于0x所以x总是朝大的方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭头所指从左向右移动.在相平面的下方,由于0x所以x总是朝小的方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭箭头所指从右向左移动.在x轴上,由于0x,即x不变化,达到最大值或最小值,故相轨迹曲线与x轴的交点处的切线总垂直于x轴.2.相轨迹作图法先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法.(1)解析法根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程绘制相平面图,此方法仅用于简单的一﹑二阶线性系统或分段线性系统.(a)线性一阶系统系统自由运动的微分方程为:)3(0xxT相轨迹方程为:)4(/Txx设初始条件:Txxxx/)0(,)0(00,当T0,相轨迹如下图xx0),(00xxA)','(00xxB系统从任一初始点出发,均将沿相轨迹收敛于原点.当T0,相轨迹如图中绿线所示.),(00xxA)','(00xxB系统从任一初始点出发均将沿相轨迹发散至无穷.(b)线性二阶系统系统自由运动的微分方程为:式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:)5(022xxxnn)7()6()2(2xdtdxxxdtxdnn式(6)除以式(7):)8(22xxxdxxdnn第一种情况,0,式(8)为:)9(2xxdxxdn对式(9)两边积分得:)10(22222Axxxdxxdxnn式(10)中,,是由初始条件22020/nxxA),(00xx决定的积分常数,当),(00xx取不同的数值时,式(10)在xx平面上表示一簇同心的椭圆,如下图所示.xx0每一个椭圆相当于一个简谐运动.由于在原点,0xx,所以0/0/dxxd,原点叫奇点.这种奇点对于式(9)是唯一的一个,故又叫孤立奇点,又由于奇点附近的相轨迹是一簇封闭的曲线所以这样的孤立奇点又叫中心点.在0的其它各种情况下,通过对式(8)两边积分求出x与x间的解析表达式,不仅求解过程较困难和复杂即使由解析表达式画相轨迹也不太容易.教材P.360~P.367给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各奇点的概念,请参阅.(2)等倾线法等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法.设二阶系统一般形式的微分方程如下:)11(),(xxfx式(11)又可化为:)12(),(xxxfdxxddxxd/正是相轨迹方程的导函数,当xx,取不同值时,dxxd/的值也不同,即相轨迹上各点的曲线斜率不一样,但对于一个微分方程,当初始条件不同时,其有一簇相轨迹,而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得一条曲线,这条曲线叫等倾线.从数学角度分析,有:令dxxd/为某一常数,则xxxf/),(是关于xx,的方程.当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲线时,各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于例:设一二阶线性系统的齐次微分方程为:)13(0xxx即1,5.0n,此系统在初始条件激励下呈衰减振荡过程.由式(13)可得:)14(/)(/xxxdxxd令dxxd/,得等倾线方程为:)15()1/(xx若令2/,1xx,则等倾线如下图所示.xx0如2则xx等倾线如图中蓝线.12依此类推,取不同的值,由式(15)画出足够密的一簇等倾线,然后按各条等倾线所表示的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连成一条光滑的曲线,如左上图所示.图中相轨迹表示系统在某一初始条件下的运0xxx动轨迹.此系统有一对实部为负的共轭复根,因此在任何一对初始条件激励下,其自由运动均呈率减振荡形式不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面的原点,这种奇点叫稳定的焦点.3.由相平面图求时间解)(tx曲线在xx相平面上得到的是表示x与x间函数关系的相轨迹曲线,但在工程上分析系统时,往往希望得到比较直观的x关于时间t的函数图象,因此要利用相平面上的相轨迹曲线来确定)(tx的曲线图形.下图表示相轨迹曲线中的某一段.xx0),(00xxA),(kkxxB),(11iixxc),(iixxd若A点对应的时刻为0t,求B点对应的时刻t可在AB段沿相轨迹运动的方取若干个点),(,),,(),,(,),,(1100kkiiiixxxxxxxx计算出相邻两点间的时间增量),(),,(11iiiixxxxit,则系统从点A运动到B点时,B点的时刻kiittt10,而it的计算有下面三种方法.(1)增量法设相轨迹上两点),(),,(2211xxxx位移增量较小,设x为两点处相轨迹上速度变量x的平均值,则:)16(2/)(1212xxxxxxt(2)积分法设点),(11xx对应的时间为1t,点),(22xx对应的时间为2t,则xdxdtdtdxx//212121)17(//12xxxxttxdxtttxdxdtxx01x2x2x1xxx/101/1x2/1x2x1x其几何意义见右图.(3)圆弧法设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示.),(),,(2211xxxxr)0,(axx0用圆心坐标为,半径为的圆上的一段圆弧来近似表示相轨迹上两点间的一段曲线.ar1x2x1x2x设这段圆弧上的任一点坐标为),(xxxx,这点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为,则有:sin;sin,cosrxdrdxarx若),(11xx点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为11),(22xx点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为22,且.积分法中的式(17)可转化为:)18(sin/sin/21212121drdrxdxtxx0214.非线性系统的相平面分析例1.继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.1h2h1h2h00m0mme)(tr)(te)(tm)1(4ss)(tc设系统初始条件:0)0()0(cc2.0,1.0,2.0210hhm(1)单位阶跃输入信号)(),(1)(tcttr对)(tm的微分方程式为:)19()(4)()(tmtctc因)(tm与)(tr没有直接关系,故设法把)(tc变量换成)(te变量.当0t时,)()(),()()()()()()(tctetctctrtetctrte代入式(19):)20()(4)()(tmtete由于)(te与)(tm为非线性关系,将式(20)分段线性化,由右图得:1.0,02.08.041.02.0,02.01.0,001.0,02.08.04400eeoremeeoreeeeoremmee1h2h1h2h00m0mme区域:8.0edeededeedededteddedtede令deed/,则)1/(8.0e等倾线为一组平行于e轴的直线.当0时,8.0e0相轨迹为一组平行的曲线,所由相轨迹均趋向于的直线,如下图所示.8.0eee08.01.02.00)0()0(,1)0()0()0(0)0()0(cecrecc这一特定的相轨迹如上图10pp所示.10p1p1.02.02p区域因相轨迹的斜率始终为-1,所以相轨迹为一簇平行的斜率为-1的直线,见下图.:10/edeede0ee08.01.02.010p1p特定的相轨迹为21pp区域相轨迹与区域:)1/(8.08.0/eedeede类似,但所有相轨迹均趋向于8.0e直线,见下图.1.02.02p0ee08.01.02.010p1p8.003p特定的相轨迹为32pp4p5p,最后形成一个极限环.系统作持续振荡,振荡的幅值与021,,mhh及线性部分的时间常数和传递系数有关.(2)等速度输入信号代入式(19)并分段线性化得:Rttr)()