高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)

第1页（共31页）高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片）一．解答题（共50题）1．（2019•全国）数列{an}中，a1＝，2an+1an+an+1﹣an＝0．（1）求{an}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜的n的最大值．2．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式．第2页（共31页）4．（2019•新课标Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．5．（2018•新课标Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．6．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，设bn＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{an}的通项公式．第3页（共31页）7．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．8．（2017•全国）设数列{bn}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn．9．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{bn}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．第4页（共31页）10．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．11．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．（2016•全国）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝，求数列{bn}的前n项和．第5页（共31页）13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．14．（2016•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn+1+bn+1＝nbn．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和．15．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．第6页（共31页）16．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．17．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．18．（2015•全国）已知数列{an}的前n项和Sn＝4﹣an﹣．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．第7页（共31页）19．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．第8页（共31页）数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）数列{an}中，a1＝，2an+1an+an+1﹣an＝0．（1）求{an}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜的n的最大值．【分析】（1）由2an+1an+an+1﹣an＝0可得，可知数列{}是等差数列，求出的通项公式可得an；（2）由（1）知＝，然后利用裂项相消法求出a1a2+a2a3+…+an﹣1an，再解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值．【解答】解：（1）∵2an+1an+an+1﹣an＝0．∴，又，∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，∴；（2）由（1）知，＝，∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an＝＝，∵a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜，∴＜，∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N*，∴n的最大值为9．【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．2．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，第9页（共31页）若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式．【分析】（1）定义法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：∵4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4；∴4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）＝4（an﹣bn）+8；即an+1+bn+1＝（an+bn），an+1﹣bn+1＝an﹣bn+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{an+bn}是首项为1，公比为的等比数列，{an﹣bn}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：an+bn＝（）n﹣1，an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴an＝（）n+n﹣，bn＝（）n﹣n+．【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题4．（2019•新课标Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；第10页（共31页）（2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入bn＝log2an，得到bn，说明数列{bn}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）bn＝log2an＝，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{bn}的前n项和．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．5．（2018•全国）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）＝2．（1）求Sn；（2）求++…+．【分析】（1）由数列递推式可得（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）＝2，可得Sn+12﹣Sn2＝2，运用等差数列的定义和通项公式可得所求Sn；（2）化简＝＝（）＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．【解答】解：（1）a1＝，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）＝2，可得（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）＝2，可得Sn+12﹣Sn2＝2，即数列{Sn2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得Sn2＝2+2（n﹣1）＝2n，由an＞0，可得Sn＝；（2）＝＝（）＝（﹣），即++…+＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）＝（﹣1）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．第11页（共31页）6．（2018•新课标Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【分析】（1）根据a1＝﹣7，S3＝﹣15，可得a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可；（2）由a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，得Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，∴Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．7．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，设bn＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{an}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，则：（常数），由于，故：，数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）由于（常数），数列{bn}是为等比数列；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．8．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．第12页（共31页）（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q＝±2，由此能求出{an}的通项公式．（2）当a1＝1，q＝﹣2时，Sn＝，由Sm＝63，得Sm＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，Sn＝2n﹣1，由此能求出m．【解